1. AVL的概念

• AVL树是最先发明的⾃平衡⼆叉查找树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的⼆叉搜索树：它的左右⼦树都是AV树，且左右⼦树的⾼度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗⾼度平衡搜索⼆叉树，通过控制⾼度差去控制平衡。

• AVL树得名于它的发明者G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis是两个前苏联的科学家，他们在1962年的论⽂《An algorithm for the organization of information》中发表了它。

• AVL树实现这⾥我们引⼊⼀个平衡因⼦(balance factor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因⼦，任何结点的平衡因⼦等于右⼦树的⾼度减去左⼦树的⾼度，也就是说任何结点的平衡因⼦等于0/1/-1，AVL树并不是必须要平衡因⼦，但是有了平衡因⼦可以更⽅便我们去进⾏观察和控制树是否平衡，就像⼀个⻛向标⼀样。

• 思考⼀下为什么AVL树是⾼度平衡搜索⼆叉树，要求⾼度差不超过1，⽽不是⾼度差是0呢？0不是更好的平衡吗？画画图分析我们发现，不是不想这样设计，⽽是有些情况是做不到⾼度差是0的。⽐如⼀棵树是2个结点，4个结点等情况下，⾼度差最好就是1，⽆法作为⾼度差是0

• AVL树整体结点数量和分布和完全⼆叉树类似，⾼度可以控制在 logN ，那么增删查改的效率也可以控制在 O(logN) ，相⽐⼆叉搜索树有了本质的提升。

2. AVL树的实现

2.1 AVL树的结构

AVL树的底层结构类似于我们之前学的key_value模型，但是每个节点新增加了一个平衡因子，并且为了更好地完成旋转我们这里引入parent指针（找父节点）。

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
// 需要parent指针，后续更新平衡因⼦可以看到pair<K, V> _kv;AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf; // balance factorAVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr),_bf(0){}
};
template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
//...private:Node* _root = nullptr;
};

2.2 AVL树的插⼊

2.2.1 AVL树插⼊⼀个值的⼤概过程

1. 插⼊⼀个值按⼆叉搜索树规则进⾏插⼊。
2. 新增结点以后，只会影响祖先结点的⾼度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因⼦，所以更新从新增结点->根结点路径上的平衡因⼦，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停⽌了，具体情况我们下⾯再详细分析。
3. 更新平衡因⼦过程中没有出现问题，则插⼊结束
4. 更新平衡因⼦过程中出现不平衡，对不平衡⼦树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了⼦树的⾼度，不会再影响上⼀层，所以插⼊结束。

总的来说，我们的操作就是先按搜索二叉树的操作插入，然后更新平衡因子，根据平衡因子来判断是否失衡，如果失衡就会进行旋转来维持树的平衡。

2.2.2 平衡因⼦更新

更新原则：
• 平衡因⼦ = 右⼦树⾼度-左⼦树⾼度（这一块也可以左-右，但常见的是右减左）
• 只有⼦树⾼度变化才会影响当前结点平衡因⼦。
• 插⼊结点，会增加⾼度，所以新增结点在parent的右⼦树，parent的平衡因⼦++，新增结点在
parent的左⼦树，parent平衡因⼦–
• parent所在⼦树的⾼度是否变化决定了是否会继续往上更新

更新停⽌条件：

• 更新后parent的平衡因⼦等于0，更新中parent的平衡因⼦变化为-1->0 或者 1->0，说明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的结点插⼊在低的那边，插⼊后parent所在的⼦树⾼度不变，不会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，更新结束。
• 更新后parent的平衡因⼦等于1 或 -1，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为0->1 或者 0->-1，说明更新前parent⼦树两边⼀样⾼，新增的插⼊结点后，parent所在的⼦树⼀边⾼⼀边低，parent所在的⼦树符合平衡要求，但是⾼度增加了1，会影响arent的⽗亲结点的平衡因⼦，所以要继续向上更新。
• 更新后parent的平衡因⼦等于2 或 -2，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为1->2 或者 -1->-2，说明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的插⼊结点在⾼的那边，parent所在的⼦树⾼的那边更⾼了，破坏了平衡，parent所在的⼦树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的⽬标有两个：1、把parent⼦树旋转平衡。2、降低parent⼦树的⾼度，恢复到插⼊结点以前的⾼度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插⼊结束。

比如说这里14更新后的平衡因子为-1可能会影响父节点的平衡所以需要向上更新，继续更新后10的平衡因子变为了2，失衡需要旋转处理。

2.2.3 插⼊结点及更新平衡因⼦的代码实现

bool insert(const pair<k, v>& kv)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}//找到该插入的位置cur = new Node(kv);if (kv.first < parent->_kv.first){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}cur->_parent = parent;//插入成功并且链接上父节点了。while (parent){if (cur == parent->_left)parent->_bf--;elseparent->_bf++;//更新平衡因子if (parent->_bf == 0){break;}//为0就更新结束else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)//需要继续向上找{cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)//需要调整{//旋转处理if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);//右旋}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);//左旋}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);//先左旋后右旋}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);//先右旋后左旋}else{assert(false);//如果插入过程代码出现问题可能会导致平衡因子为其他值，这时候就可以在这里来找}break;}else//树中间出现问题，平衡因子错误{assert(false);}}return true;
}

按搜索二叉树的规则找到该插入的位置后只需要cur->_parent = parent;就可以链接起来了，然后我们就更新平衡因子，然后判断是否该旋转。

2.3 旋转

2.3.1 旋转的原则

1. 保持搜索树的规则
2. 让旋转的树从不满⾜变平衡，其次降低旋转树的⾼度
   旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。

说明：下⾯的图中，有些结点我们给的是具体值，如10和5等结点，这⾥是为了⽅便讲解，实际中是什么值都可以，只要⼤⼩关系符合搜索树的规则即可。

2.3.2 右单旋

• 本图1展⽰的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树，是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体图2/图3/图4/图5进⾏了详细描述。
• 在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平衡因⼦从-1变成-2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太⾼了，需要往右边旋转，控制两棵树的平衡。
• 旋转核⼼步骤，因为5 < b⼦树的值 < 10，将b变成10的左⼦树，10变成5的右⼦树，5变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转原则。如果插⼊之前10整棵树的⼀个局部⼦树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。

正是因为这种实际的样例无穷无尽，所以我们这里用整体代表的这种方式

2.3.3 右单旋代码实现

void RotateR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;// 需要注意除了要修改孩⼦指针指向，还是修改⽗亲parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;Node* parentParent = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;
// parent有可能是整棵树的根，也可能是局部的⼦树
// 如果是整棵树的根，要修改_root
// 如果是局部的指针要跟上⼀层链接if (parentParent == nullptr){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (parent == parentParent->_left){parentParent->_left = subL;}else{parentParent->_right = subL;}subL->_parent = parentParent;}//最后更新平衡因子parent->_bf = subL->_bf = 0;
}

2.3.4 左单旋

• 本图6展⽰的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树，是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体跟上⾯左旋类似。
• 在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平衡因⼦从1变成2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太⾼了，需要往左边旋转，控制两棵树的平衡。
• 旋转核⼼步骤，因为10 < b⼦树的值 < 15，将b变成10的右⼦树，10变成15的左⼦树，15变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转原则。如果插⼊之前10整棵树的⼀个局部⼦树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。

2.3.5 左单旋代码实现

void RotateL(Node* parent)//左旋
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;Node* pparent = parent->_parent;parent->_parent = subR;subR->_left = parent;if (pparent==nullptr){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (pparent->_left == parent){pparent->_left = subR;subR->_parent = pparent;}else{pparent->_right = subR;subR->_parent = pparent;}}subR->_bf = parent->_bf = 0;//更新平衡因子
}

2.3.6 左右双旋

通过图7和图8可以看到，左边⾼时，如果插⼊位置不是在a⼦树，⽽是插⼊在b⼦树，b⼦树⾼度从h变成h+1，引发旋转，右单旋⽆法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边⾼，但是插⼊在b⼦树中，10为跟的⼦树不再是单纯的左边⾼，对于10是左边⾼，但是对于5是右边⾼，需要⽤两次旋转才能解决，以5为旋转点进⾏⼀个左单旋，以10为旋转点进⾏⼀个右单旋，这棵树这棵树就平衡了。


• 图7和图8分别为左右双旋中h0和h1具体场景分析，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的细节进⼀步展开为8和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为我们要对b的⽗亲5为旋转点进⾏左单旋，左单旋需要动b树中的左⼦树。b⼦树中新增结点的位置不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通过观察8的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。
• 场景1：h >= 1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1并为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为-1，旋转后8和5平衡因⼦为0，10平衡因⼦为1。
• 场景2：h >= 1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为1，旋转后8和10平衡因⼦为0，5平衡因⼦为-1。
• 场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为0，旋转后8和10和5平衡因⼦均为0。

2.3.7 左右双旋代码实现

void RotateLR(Node* parent)//先左旋后右旋
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(subL);RotateR(parent);if (bf == 0){subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;subL->_bf = 0;}else if (bf == 1){subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;subL->_bf = -1;}else if (bf == -1){subLR->_bf = 0;parent->_bf = 1;subL->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

2.3.8 右左双旋

• 跟左右双旋类似，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的细节进⼀步展开为12和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为我们要对b的⽗亲15为旋转点进⾏右单旋，右单旋需要动b树中的右⼦树。b⼦树中新增结点的位置不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通过观察12的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。

• 场景1：h >= 1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为-1，旋转后10和12平衡因⼦为0，15平衡因⼦为1。

• 场景2：h >= 1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为1，旋转后15和12平衡因⼦为0，10平衡因⼦为-1。

• 场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为0，旋转后10和12和15平衡因⼦均为0。

2.3.9 右左双旋代码实现

void RotateRL(Node* parent)//先右旋后左旋
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 0){subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;}else if (bf == 1){subRL->_bf = 0;parent->_bf = -1;subR->_bf = 0;}else if (bf == -1){subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;subR->_bf = 1;}else{assert(false);}
}

2.4 AVL树的查找

Node* Find(const k& Kv)
{Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < Kv){cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > Kv){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;
}

查找的逻辑跟之前二叉搜索树是一样的。

3、总的代码实现（树的高度，树的大小等接口的补充）

.h

#include<iostream>
#include<assert.h>
using namespace std;template<class k, class v>
struct AVLTreeNode
{pair<k, v> _kv;AVLTreeNode<k, v>* _left;AVLTreeNode<k, v>* _right;AVLTreeNode<k, v>* _parent;int _bf;//平衡因子AVLTreeNode(const pair<k, v>& kv):_kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0) {}
};template<class k, class v>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<k, v> Node;
public:bool insert(const pair<k, v>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}//找到该插入的位置cur = new Node(kv);if (kv.first < parent->_kv.first){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}cur->_parent = parent;//插入成功并且链接上父节点了。while (parent){if (cur == parent->_left)parent->_bf--;elseparent->_bf++;//更新平衡因子if (parent->_bf == 0){break;}//为0就更新结束else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)//需要继续向上找{cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)//需要调整{//旋转处理if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}else{assert(false);}break;}else//树中间出现问题，平衡因子错误{assert(false);}}return true;}void RotateR(Node* parent)//右旋{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;Node* pparent = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (pparent==nullptr){_root = subL;_root->_parent = nullptr;}else{if (pparent->_left == parent){pparent->_left = subL;subL->_parent = pparent;}else{pparent->_right = subL;subL->_parent = pparent;}}//旋转好了，现在需要更新平衡因子subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}void RotateL(Node* parent)//左旋{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;Node* pparent = parent->_parent;parent->_parent = subR;subR->_left = parent;if (pparent==nullptr){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (pparent->_left == parent){pparent->_left = subR;subR->_parent = pparent;}else{pparent->_right = subR;subR->_parent = pparent;}}subR->_bf = parent->_bf = 0;//更新平衡因子}void RotateLR(Node* parent)//先左旋后右旋{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(subL);RotateR(parent);if (bf == 0){subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;subL->_bf = 0;}else if (bf == 1){subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;subL->_bf = -1;}else if (bf == -1){subLR->_bf = 0;parent->_bf = 1;subL->_bf = 0;}else{assert(false);}}void RotateRL(Node* parent)//先右旋后左旋{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 0){subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;}else if (bf == 1){subRL->_bf = 0;parent->_bf = -1;subR->_bf = 0;}else if (bf == -1){subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;subR->_bf = 1;}else{assert(false);}}void inorder(){_inorder(_root);}Node* Find(const k& Kv){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < Kv){cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > Kv){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;}size_t size(){return _size(_root);}size_t hight(){return _hight(_root);}private:void _inorder(Node* root){if (root == nullptr)return;_inorder(root->_left);cout << root->_kv.first << ' ' << root->_kv.second << endl;_inorder(root->_right);}size_t _size(Node* root){if (root == nullptr)return 0;return _size(root->_left) + _size(root->_right) + 1;}size_t _hight(Node* root){if (root == nullptr)return 0;int leftH = _hight(root->_left);int rightH = _hight(root->_right);return leftH > rightH ? leftH + 1 : rightH + 1;}Node* _root = nullptr;
};

test,cpp

#include"AVLtree.h"void test1()
{AVLTree<int, int> al;int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };for (auto& e : a){al.insert({ e, e });}al.inorder();cout << al.hight() << endl;cout << al.size() << endl;AVLTreeNode<int, int>* find = al.Find(4);cout << find->_kv.first << ' ' << find->_kv.second << endl;
}
int main()
{test1();return 0;
}