专题【二分查找】刷题日记

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题目列表

4. 寻找两个正序数组的中位数
33. 搜索旋转排序数组
34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
35. 搜索插入位置
69. x 的平方根
167. 两数之和 II - 输入有序数组
209. 长度最小的子数组
222. 完全二叉树的节点个数
287. 寻找重复数

2023.04.14

4. 寻找两个正序数组的中位数

题目

给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的 中位数 。

算法的时间复杂度应该为 O(log (m+n)) 。

示例 1：

输入：nums1 = [1,3], nums2 = [2]
输出：2.00000
解释：合并数组 = [1,2,3] ，中位数 2

示例 2：

输入：nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]
输出：2.50000
解释：合并数组 = [1,2,3,4] ，中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5

提示：

  • nums1.length == m
  • nums2.length == n
  • 0 <= m <= 1000
  • 0 <= n <= 1000
  • 1 <= m + n <= 2000
  • -106 <= nums1[i], nums2[i] <= 106

思路

  1. 总元素个数如果是奇数
  2. 每一个数组都找中间的指针
  3. 如果对于这俩指针， 左右恰巧数量一样，就返回这俩指针对应的元素（奇数返回小的，偶数返回两个的平均）
  4. a[0], …, a[i],…a[m-1]，b[0],…,b[j],…b[n-1]，左右一样指a[0]…a[i]元素个数加上b[0]…b[j]元素个数和剩余部分一致，并且a[i-1]<b[j]<a[i+1] && b[j-1] < a[i] < b[j+1]，即a[i]的坐边小于b[j]、b[j]的左边小于a[i]、a[i]的右边大于b[j]、b[j]的右边大于a[i]
  5. 否则使用二分查找其中一个，同时调整另一个元素的个数，始终保持，左右元素相等，直到满足上述第二个条件

答案

class Solution {public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {int m = nums1.length;int n = nums2.length;if (m > n) {// 从短的做遍历。为了避免处理nums2的边界return findMedianSortedArrays(nums2, nums1);}int halfNum = (m + n + 1) / 2;int left = 0, right = m;int leftMax = 0, rightMin = 0;while (left <= right) {// 防溢出int middle1 = left + (right - left) / 2;int middle2 = halfNum - middle1;// i_1要处理左溢出即==0的判断，i本身要处理右溢出即==m// MAX_VALUE还是MIN_VALUE是从max还是min赋值的，反正就是取合法的那边int ai_1 = middle1 == 0 ? Integer.MIN_VALUE : nums1[middle1 - 1];int ai = middle1 == m ? Integer.MAX_VALUE : nums1[middle1];int bj_1 = middle2 == 0 ? Integer.MIN_VALUE : nums2[middle2 - 1];int bj = middle2 == n ? Integer.MAX_VALUE : nums2[middle2];// 满足条件就记录if (ai_1 <= bj) {leftMax = Math.max(ai_1, bj_1);rightMin = Math.min(ai, bj);left = middle1 + 1;} else {right = middle1 - 1;}}// 满足条件才更新，所以直接返回return ((m + n) % 2 == 0) ? (leftMax + rightMin) / 2.0 : leftMax;}
}

33. 搜索旋转排序数组

题目

整数数组 nums 按升序排列，数组中的值 互不相同 。

在传递给函数之前，nums 在预先未知的某个下标 k（0 <= k < nums.length）上进行了 旋转，使数组变为 [nums[k], nums[k+1], …, nums[n-1], nums[0], nums[1], …, nums[k-1]]（下标 从 0 开始 计数）。例如， [0,1,2,4,5,6,7] 在下标 3 处经旋转后可能变为 [4,5,6,7,0,1,2] 。

给你 旋转后 的数组 nums 和一个整数 target ，如果 nums 中存在这个目标值 target ，则返回它的下标，否则返回 -1 。

你必须设计一个时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1：

输入：nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 0
输出：4

示例 2：

输入：nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 3
输出：-1

示例 3：

输入：nums = [1], target = 0
输出：-1

提示：

  • 1 <= nums.length <= 5000
  • -104 <= nums[i] <= 104
  • nums 中的每个值都 独一无二
  • 题目数据保证 nums 在预先未知的某个下标上进行了旋转
  • -104 <= target <= 104

思路

核心是找到在哪边搜索

  1. 先判断哪边是有序的
  2. 如果目标值在有序的这边，就在这边，否则在另一边

答案

class Solution {public int search(int[] nums, int target) {return search(nums, target, 0, nums.length - 1);}public int search(int[] nums, int target, int left, int right) {// 递归的边界if (left > right) {return -1;}int middle = left + (right - left) / 2;int value = nums[middle];// 递归的终止条件if (value == target) {return middle;} // 左边有序if (nums[left] <= value) {// 因为左边有序，所以判断在不在左边范围内，在的话就在左边if (target < value && nums[left] <= target) {return search(nums, target, left, middle - 1);} else {return search(nums, target, middle + 1, right);}} else {// 右边同理if (target > value && target <= nums[right]) {return search(nums, target, middle + 1, right);} else {return search(nums, target, left, middle - 1);}}}
}

34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

题目

给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。

你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出：[3,4]

示例 2：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出：[-1,-1]

示例 3：

输入：nums = [], target = 0
输出：[-1,-1]

提示：

  • 0 <= nums.length <= 105
  • -109 <= nums[i] <= 109
  • nums 是一个非递减数组
  • -109 <= target <= 109

思路

和普通二分的区别是搜索到之后的动作

  1. 搜索最左边的话，就一直把右边界往左边移动。
  2. 右边同理，详见注释

答案

class Solution {public int[] searchRange(int[] nums, int target) {if (nums.length == 0) {return new int[] { -1, -1 };}return new int[] { lBsearch(nums, target, 0, nums.length - 1), rBsearch(nums, target, 0, nums.length - 1) };}public int lBsearch(int[] nums, int target, int left, int right) {// 因为左右都是闭区间，所以相等while (left <= right) {int middle = left + (right - left) / 2;int value = nums[middle];if (value < target) {left = middle + 1;} else {// 相等就移动右边界right = middle - 1;}}// 考虑剩两个元素的时候，[m, target]，这时候middle==left, m < target，最后右移一步。所以最后，如果有left一定指向元素// 考虑剩两个元素的时候，[target, target]，这时候middle==left, 最后左移一步。所以最后，如果有left一定指向元素// 一些边界判断return left >= 0 && left < nums.length && nums[left] == target ? left : -1;}// 同搜索左边界public int rBsearch(int[] nums, int target, int left, int right) {while (left <= right) {int middle = left + (right - left) / 2;int value = nums[middle];if (value <= target) {left = middle + 1;} else {right = middle - 1;}}return right >= 0 && right < nums.length && nums[right] == target ? right : -1;}
}

2024.04.19

35. 搜索插入位置

题目

给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。

请必须使用时间复杂度为 O(log n) 的算法。

示例 1:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 5
输出: 2

示例 2:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 2
输出: 1

示例 3:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 7
输出: 4

提示:

  • 1 <= nums.length <= 104
  • -104 <= nums[i] <= 104
  • nums 为 无重复元素 的 升序 排列数组
  • -104 <= target <= 104

思路

比二分查找，要多考虑下，最后left和right的位置关系
考虑两个元素的时候[m, n], m < target < n, nums[middle] = m < target，移动right，left和right重合在m，最后一次，right-1，left不动

答案

class Solution {public int searchInsert(int[] nums, int target) {int left = 0, right = nums.length - 1;// 闭区间，所以=while (left <= right) {int middle = left + (right - left) / 2;int value = nums[middle];if (value == target) {return middle;} else if (value < target) {left = middle + 1;} else {right = middle - 1;}}return left;}
}

69. x 的平方根

题目

给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。
由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去 。
注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。

示例 1：

输入：x = 4
输出：2

示例 2：

输入：x = 8
输出：2
解释：8 的算术平方根是 2.82842…, 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

提示：

  • 0 <= x <= 2^31 - 1

思路

0-x一半一半逼近，因为1 = 1 x 1, 所以x是闭区间

答案

class Solution {public int mySqrt(int x) {// 边界0,1if (x < 2) {return x;}int left = 0, right = x;while (left <= right) {int middle = left + (right - left) / 2;if (x / middle == middle) {return middle;} else if (x / middle < middle) {right = middle - 1;} else {left = middle + 1;}}// 2.8取2，所以-1return left - 1;}
}

167. 两数之和 II - 输入有序数组

题目

给你一个下标从 1 开始的整数数组 numbers ，该数组已按 非递减顺序排列 ，请你从数组中找出满足相加之和等于目标数 target 的两个数。如果设这两个数分别是 numbers[index1] 和 numbers[index2] ，则 1 <= index1 < index2 <= numbers.length 。

以长度为 2 的整数数组 [index1, index2] 的形式返回这两个整数的下标 index1 和 index2。

你可以假设每个输入 只对应唯一的答案 ，而且你 不可以 重复使用相同的元素。

你所设计的解决方案必须只使用常量级的额外空间。

示例 1：

输入：numbers = [2,7,11,15], target = 9
输出：[1,2]
解释：2 与 7 之和等于目标数 9 。因此 index1 = 1, index2 = 2 。返回 [1, 2] 。

示例 2：

输入：numbers = [2,3,4], target = 6
输出：[1,3]
解释：2 与 4 之和等于目标数 6 。因此 index1 = 1, index2 = 3 。返回 [1, 3] 。

示例 3：

输入：numbers = [-1,0], target = -1
输出：[1,2]
解释：-1 与 0 之和等于目标数 -1 。因此 index1 = 1, index2 = 2 。返回 [1, 2] 。

提示：

  • 2 <= numbers.length <= 3 * 104
  • -1000 <= numbers[i] <= 1000
  • numbers 按 非递减顺序 排列
  • -1000 <= target <= 1000
  • 仅存在一个有效答案

思路

因为有序，固定一个，另一个用二分

答案

// 二分，O（n log(n)）
class Solution {public int[] twoSum(int[] numbers, int target) {for (int i = 0; i < numbers.length; i++) {int current = numbers[i];int left = i + 1;int right = numbers.length - 1;while (left <= right) {int middle = left + (right - left) / 2;if (current + numbers[middle] == target) {return new int[] { i + 1, middle + 1 };} else if (current + numbers[middle] < target) {left = middle + 1;} else {right = middle - 1;}}}return new int[] { -1, -1 };}
}
// 双指针 O(n)
class Solution {public int[] twoSum(int[] numbers, int target) {int left = 0, right = numbers.length - 1;while (left < right) {int leftValue = numbers[left];int rightValue = numbers[right];if (leftValue + rightValue == target) {return new int[] { left + 1, right + 1 };} else if (leftValue + rightValue < target) {left++;} else {right--;}}return new int[] { -1, -1 };}
}

209. 长度最小的子数组

题目

给定一个含有 n 个正整数的数组和一个正整数 target 。

找出该数组中满足其总和大于等于 target 的长度最小的 连续
子数组 [numsl, numsl+1, …, numsr-1, numsr] ，并返回其长度。如果不存在符合条件的子数组，返回 0 。

示例 1：

输入：target = 7, nums = [2,3,1,2,4,3]
输出：2
解释：子数组 [4,3] 是该条件下的长度最小的子数组。

示例 2：

输入：target = 4, nums = [1,4,4]
输出：1

示例 3：

输入：target = 11, nums = [1,1,1,1,1,1,1,1]
输出：0

提示：

  • 1 <= target <= 109
  • 1 <= nums.length <= 105
  • 1 <= nums[i] <= 105

进阶：

  • 如果你已经实现 O(n) 时间复杂度的解法, 请尝试设计一个 O(n log(n)) 时间复杂度的解法。

思路

  1. 滑动窗口
  2. 前缀和+二分搜索。二分一定要有序，前缀和可以做到

答案

// 滑动窗口
class Solution {public int minSubArrayLen(int target, int[] nums) {int result = Integer.MAX_VALUE;int left = 0, right = 0;int sum = 0;while (right < nums.length) {sum += nums[right];while (sum >= target && left <= right) {result = Math.min(result, right - left + 1);sum -= nums[left++];}right++;}return result == Integer.MAX_VALUE ? 0 : result;}
}
// 前缀和+二分
class Solution {public int minSubArrayLen(int target, int[] nums) {int[] sums = new int[nums.length + 1];int sum = 0;for (int i = 1; i < sums.length; i++) {sum += nums[i - 1];sums[i] = sum;}int result = Integer.MAX_VALUE;for (int i = 0; i < sums.length; i++) {int current = sums[i];int left = i + 1, right = sums.length - 1;while (left <= right) {int middle = left + (right - left) / 2;int value = sums[middle];if (value - current >= target) {result = Math.min(result, middle - i);right = middle - 1;} else {left = middle + 1;}}}return result == Integer.MAX_VALUE ? 0 : result;}
}

222. 完全二叉树的节点个数

题目

给你一棵 完全二叉树 的根节点 root ，求出该树的节点个数。

完全二叉树 的定义如下：在完全二叉树中，除了最底层节点可能没填满外，其余每层节点数都达到最大值，并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置。若最底层为第 h 层，则该层包含 1~ 2h 个节点。

示例 1：
在这里插入图片描述

输入：root = [1,2,3,4,5,6]
输出：6

示例 2：

输入：root = []
输出：0

示例 3：

输入：root = [1]
输出：1

提示：

  • 树中节点的数目范围是[0, 5 * 104]
  • 0 <= Node.val <= 5 * 104
  • 题目数据保证输入的树是 完全二叉树

进阶： 遍历树来统计节点是一种时间复杂度为 O(n) 的简单解决方案。你可以设计一个更快的算法吗？

思路

  1. 因为是完全二叉树
  2. 求左右树的高度，如果相等，则说明左子树是完全二叉树，左子树元素个数是2左子树的高度-1，再加上根节点，就是2左子树的高度
  3. 如果不相等，说明右子树是完全二叉树，算法同2

答案

/*** Definition for a binary tree node.* public class TreeNode {*     int val;*     TreeNode left;*     TreeNode right;*     TreeNode() {}*     TreeNode(int val) { this.val = val; }*     TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {*         this.val = val;*         this.left = left;*         this.right = right;*     }* }*/
class Solution {public int countNodes(TreeNode root) {if (root == null) {return 0;}int left = high(root.left);int right = high(root.right);if (left == right) {// 左子树是完全二叉树，左子树加右边的数量return countNodes(root.right) + (1 << left);} else {// 右子树是完全二叉树，右子树加左边的数量return countNodes(root.left) + (1 << right);}}public int high(TreeNode root) {int result = 0;while (root != null) {result++;root = root.left;}return result;}
}

287. 寻找重复数

题目

给定一个包含 n + 1 个整数的数组 nums ，其数字都在 [1, n] 范围内（包括 1 和 n），可知至少存在一个重复的整数。
假设 nums 只有 一个重复的整数 ，返回 这个重复的数 。
你设计的解决方案必须 不修改 数组 nums 且只用常量级 O(1) 的额外空间。

示例 1：

输入：nums = [1,3,4,2,2]
输出：2

示例 2：

输入：nums = [3,1,3,4,2]
输出：3

示例 3 :

输入：nums = [3,3,3,3,3]
输出：3

提示：

  • 1 <= n <= 105
  • nums.length == n + 1
  • 1 <= nums[i] <= n
  • nums 中 只有一个整数 出现 两次或多次 ，其余整数均只出现 一次

进阶：

  • 如何证明 nums 中至少存在一个重复的数字?
  • 你可以设计一个线性级时间复杂度 O(n) 的解决方案吗？

思路

之前双指针有过，这次换个思路
要二分，必须有单调数组，有点像定义DP数组了、本次定义cnt[i]表示小于等于i的元素数量，有点像前缀和的逻辑，记住吧。数组构造单调数组有两个办法：前缀和、cnt[i]
如果数组中只有一个重复元素，根据题意 nums.length == n + 1 、1 <= nums[i] <= n，其实必然重复（n+1个位置，只有n个元素）。则重复元素之前，cnt[i] == i，[1,2,3,4,5,6,5,7,8]，这种cnt[0-4] = [0-4]，因为可能重复多个，所以cnt[i] <= i
用二分找到这个就行了，就是哪个位置开始出现不小于等于

答案

class Solution {public int findDuplicate(int[] nums) {int left = 0, right = nums.length - 1;int result = 0;// 找数，数在0-n之间（根据题意nums.length==n+1），搜索的是小于等于xxxwhile (left <= right) {// 二分找数int middle = left + (right - left) / 2;// 计算cntint cnt = 0;for (int i = 0; i < nums.length; i++) {// 遍历数组，小于等于middle的数个数if (nums[i] <= middle) {cnt++;}}// 是不是满足条件，满足说明数小了if (cnt <= middle) {left = middle + 1;} else {// 记录下，因为可能是大于target的，所以继续搜索// [1,2,3,4,5,6,5,7,8]，cnt[6] = 7, cnt[5] = 6, cnt[8] = 8，都满足条件，所以继续搜索result = middle;right = middle - 1;}}return result;}
}

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