多速率信号处理

介绍

简单来说，多速率信号处理，是指对同时存在两个以上数据速率的系统进行信号处理。多速率信号处理原理就是通过改变信号速率，以适应系统内部各个节点对信号速率的要求。这里的速率其实就是指采样率。多速率技术已广泛应用于数字音频处理、语音处理、频谱分析、无线通信、雷达等领域。其实，以目前的系统复杂度，在我们绝大多数实际应用中，小到一个模块，大到一个系统，基本都是一个多速率处理系统。都面临着改变信号采样率的问题。

插值

以 $I$ 倍插值为例，在序列 $x(n)$ 的每个样本之间插入 $I-1$ 个零，以使序列拉长至原序列长度的 $I$ 倍。

$y(n)=\left\{ \begin{aligned} &x(\frac{n}{I}), & \frac{n}{I} \in Z \\ &0, & otherwise. \end{aligned} \right.$

$Y(z) = X(z^I)$

插值后信号采样率相对原信号采样率提升 $I$ 倍，此时对应的序列整个频谱由 $(-\pi~\pi)$ 压缩 $I$ 倍到 $(-\pi/I,\pi/I)$ ，并以 $2\pi/I$ 为周期重复扩展 $I-1$ 次，重复的部分就是原信号的镜像，如果我们能够实现一个截止频率为 $\pi/I$ 的理想的低通滤波器，那么我们就实现了一个理想的上采样 $I$ 倍的系统，对拉伸后的信号 $x(n)$ 进行滤波，就可以实现将信号 $x(n)$ 无失真的插值 $I$ 倍

抽取

以 $D$ 倍抽取为例，在序列x(n)中只提取 $D$ 倍时的样本，以使序列缩短至原序列长度的 $D$ 倍。

$y(n)=x(Dn)$

$Y(z) = \frac{1}{D} \sum_{m=0}^{D-1}X(z^{\frac{1}{N}}e^{-jm\frac{2\pi}{D}})$

抽取后信号采样率相对原信号采样率下降 $D$ 倍，此时对应的序列整个频谱由 $(-\pi~\pi)$ 扩展 $D$ 倍，并按间隔为 $2\pi/D$ 平移叠加，导致出现混叠。因此当原信号的频谱带宽大于 $\pi/D$ 时，抽取的信号将出现混叠失真。如果我们要对一个信号进行 $D$ 倍抽取并且无混叠，我们必须将信号首先通过一个截止频率为 $\pi/D$ 的理想低通滤波器，然后再进行抽取

Filter Bank

Two Channel Filter Bank

Two-Channel Critically Sampled Filter Banks

经过两个analysis filter的输出：

$X_k(z)=H_k(z)X(z), k=0,1$

经过下采样后的输出：

$V_k(z)=\frac{1}{2}[X_k(z^{\frac{1}{2}}+X_k(-z^{\frac{1}{2}}))], k=0,1$

上采样后的输出：

$Y_k(z)=V_k(z^2) \\ =\frac{1}{2}[X_k(z)+X_k(-z)] \\ =\frac{1}{2}[H_k(z)X(z)+H_k(-z)X(-z)],k=0,1$

经过synthesis filter并重建的信号：

$\hat{X}(z)=\frac{1}{2}[H_0(z)F_0(z)+H_1(z)F_1(z)]X(z)+\frac{1}{2}[H_0(-z)F_0(z)+H_1(-z)F_1(z)]X(-z)$

为了完美重建，需要施加一定约束，使混叠项为0，即：

$F_0(z)=H_1(-z) \\ F_1(z)=-H0(-z)$

为了完美重建，还需要施加约束：

$c=H_0(z)F_0(z)+H_1(z)F_1(z)=H_0(z)H_1(z-)-H_1(z)H_0(-z)$

Quadrature Mirror Filters(QMF)约束：

$H_1(z)=H_0(-z)$

也就是说， $H_0$ 和 $H_1$ 关于 $\pi/2$ 镜像对称，在时域中，有：

$h_1(n)=(-1)^nh_0(n) \\ f_0(n)=h_0(n) \\ f_1(n)=-h_1(n)$

N Channel Filter Bank

对于任意通道 $N$ 的filter banks,完美重建至少需要下采样因子 $D \leq N$ ， $D=N$ 为严格采样(Critically Sampled)， $D < N$ 为过采样(OverSampled)，当 $D > N$ 时，欠采样(UnderSampled)，此时无法完美重建。

DFT FilterBank

Modulation by a Complex Sinusoid

输入信号被频率为 $\omega_c$ 的复指数信号调制，中心频率 $\omega_c$ 向下偏移至0，信号 $x(n)$ 的频率偏移 $-\omega_c$

Bandpass Filter from Lowpass Filter

一组带通滤波器可以通过原型低通滤波器经过调制得到：

$h_m(n) = h_0(n)e^{j2\pi nm/N},m=0,1,...,N-1$

回顾DFT公式：

$X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j2\pi nk/N}$

可以看出DFT的系数也可以看作是一组窄带滤波器组，当我们对序列进行分帧，相当于对序列加矩形窗，此时原型低通滤波器 $h_0$ 为矩形窗。

以往对窗函数的理解是信号在时域与窗函数相乘，对应于频域则是理想频响与窗函数频谱的卷积，因此加窗产生了过渡带、尖峰和余震。窗函数频谱中最大的瓣为主瓣，其余的为旁瓣，加窗的目的都是为了抑制旁瓣。

从filterbank的角度来看，以矩形窗为原型的低通滤波器阻带衰减不够大，因此会导致各子带间产生混叠。

Polyphase filter

Noble Identities

Polyphase Decomposition

以下采样为例：

简单理解就是滤波后再进行抽取，其中没有抽取的信号是不需要计算的，因此经过Noble变换，计算效率可以提升N倍

对于 $h(0)$ 的输入信号为：

$x(nN)=[x_0,x_N,x_{2N},...]$

对于 $h(1)$ 的输入信号为：

$x(nN-1)=[x_1,x_{N-1},x_{2N-1},...]$

...

对于 $h(m)$ 的输入信号为：

$x(nN-m)=[x_m,x_{N-m},x_{2N-m},...]$

这些下采样的子信号称为polyphase signals，这样的滤波结构称为polyphase filter bank，其中每组 $h(m)$ 称为subphase filter

滤波器的输出为：

$y(n)=\sum_{m=0}^{N-1}h(m)x(nN-m)$

subphase filters的分解方式如示意图所示:

$e_l(n)=h(Nn+l)$

Polyphase filter结构如下：

Polyphase DFT FilterBank

polyphase filter的带通滤波器组是根据原型低通滤波器复调制得到的，那么便可以使用DFT实现，其结构如下：

Polyphase View of the STFT

一个特例是当原型滤波器为矩形窗时，此时我们也可以将STFT看作为polyphase filter结构

以 $L$ 点FFT为例，长度为 $L$ 的窗口在序列 $x(n)$ 上进行滑动进行分帧和加窗，每帧滑动的长度 $R$ 即为下采样因子，当 $R$ 等于 $N$ 时，即分帧无重叠时，此时下采样为 $N$ ，即此时的FFT可以看作为一个Critically Sampled FilterBank，当 $R$ 小于 $N$ 时，可以看作为OverSampled FilterBank，当 $R=1$ 时，没有下采样