LeetCode热题100｜动态规划Part.1｜70.爬楼梯、118.杨辉三角、198.打家劫舍

ops/2025/2/15 21:11:04/

70.爬楼梯

代码随想录原题，看这篇文章：C++动态规划Part.1|动态规划理论基础、509.斐波那契数、70.爬楼梯、746.使用最小花费爬楼梯

118.杨辉三角

题目链接：118.杨辉三角

一刷代码

时间复杂度和空间复杂度都造到 $O(numRows^2)$ 了。
基本思路就是先构造一个result存储最终的结果，然后定义一个dp数组来计算每一行的结果。

class Solution {
public:vector<vector<int>> generate(int numRows) {vector<vector<int>> result;for (int i = 0; i < numRows; i++) {vector<int> dp(i + 1, 1); // 行的大小应为i+1if (i >= 2) {  // 从第三行开始填充中间的数for (int j = 1; j < i; j++) {dp[j] = result[i - 1][j - 1] + result[i - 1][j]; // 正确使用result中的前一行}}result.push_back(dp);}return result;}
};

思路

很容易看到一个主要的性质：
杨辉三角中每个数字等于上一行的左右两个数字之和。

确定dp数组下标和含义
dp[i][j]等于第i行和第j列的值。
确定递推公式
递推公式很容易分析出来：
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - 1];
也就是每个数字等于上一行左右两个数字之和，但是需要注意的是，每一行的最左边和最右边的数字必须是1.
初始化dp数组
这里应该如何初始化呢？
最直接的方式就是直接全部初始化成1，因为每一行除了第一个和最后一个元素，我们都能通过递推公式进行推导
确定遍历顺序
在leetcode的题目展示上面已经看的很清楚了，
外循环从上往下遍历，内循环从左往右遍历。
这里需要注意的是，由于每一行的元素个数都是变化的，所以关于行的初始化一定要在外循环中处理。代码如下：

for (int i = 0; i < numRows; ++i) {	//先遍历行dp[i].resize(i + 1); //将第i行的向量大小调整为i+1dp[i][0] = dp[i][i] = 1;for (int j = 1; j < i; +=j) {	//再遍历列dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - 1];}
}

打印dp数组

还是比较简单的，这里就不写了。

CPP代码

其实思路还是很简单的，不过代码实现要一点小技巧，

在这里我们先创建一个大小为numRows的二维向量，其中每一行都是一个空的向量。在这种情况下，ret的初始状态是一个包含5行的二维向量，但每行都没有元素。

vector<vector<int>> dp(numRows);

然后我们在外循环中给每一行向量再调整大小，这样我们在原数组上做操作，空间复杂度一下就下来了。

for (int i = 0; i < numRows; ++i) {dp[i].resize(i + 1);...
}

总体代码如下：

class Solution {
public:vector<vector<int>> generate(int numRows) {vector<vector<int>> dp(numRows);for (int i = 0; i < numRows; ++i) {dp[i].resize(i + 1);dp[i][0] = dp[i][i] = 1;for (int j = 1; j < i; ++j) {dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - 1];}}return ret;}
};