紊流统计理论及紊流尺度
流体动力学
1、紊流能量级串及柯尔莫戈洛夫假设
最大涡的几何尺度为紊流的外尺度，记为 l 0 l_0 l0
最小长度尺度称之为耗散尺度或内尺度，记为 λ 0 \lambda_0 λ0
紊流的级串：某一级涡由上一集涡汲取能量并传递给次一级涡，直至耗散
分为
惯性区：大尺度涡能量只有传递而忽略耗散，以惯性传递为主
粘性耗散区：接近 λ 0 \lambda_0 λ0级的涡，以耗散为主
平衡区：能量传递与能量耗散相等，其中又分为惯性次区和耗散区
（这里的情形只有雷诺数很高时才会出现）
小尺度雷诺数：
R e λ = v λ λ ν Re_\lambda=\frac{v_\lambda\lambda}{\nu} Reλ=νvλλ
其中 v λ v_\lambda vλ为紊流速度尺度、 λ \lambda λ为紊流长度尺度
柯尔莫戈洛夫第一相似假设：充分高雷诺数的局部各向同性紊流，在 λ \lambda λ~ λ 0 \lambda_0 λ0区域（粘性耗散区）其统计特征仅取决于量 ϵ \epsilon ϵ和 ν \nu ν.这里的 ϵ \epsilon ϵ为级串过程中单位时间单位质量流体的能量流. 通过量纲分析可得
λ 0 ∼ ( ν 3 ϵ ) 1 4 v λ 0 ∼ ( ϵ ν ) 1 4 \lambda_0\sim\left(\frac{\nu^3}{\epsilon}\right)^{\frac{1}{4}}\\ v_{\lambda_0}\sim(\epsilon\nu)^{\frac{1}{4}} λ0∼(ϵν3)41vλ0∼(ϵν)41
柯尔莫戈洛夫第二相似假设：在充分高雷诺数的局部各向同性紊流的惯性次区，紊流的统计特征只取决于 ϵ \epsilon ϵ.此时
v λ ∼ ( ϵ λ ) 1 3 v_{\lambda}\sim(\epsilon\lambda)^\frac{1}{3} vλ∼(ϵλ)31
2、相关处理
2.1二阶相关矩
c o v ( X , Y ) = E ( X Y ) − E ( X ) E ( Y ) ρ X Y = c o v ( X , Y ) ( X − E [ X ] ) 2 ( Y − E [ Y ] ) 2 cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\\ \rho_{XY}=\frac{cov(X,Y)}{\sqrt{(X-E[X])^2}\sqrt{(Y-E[Y])^2}} cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)ρXY=(X−E[X])2(Y−E[Y])2cov(X,Y)
均匀各向同性紊流中，
f ( r ) = B r r ( r ) / σ 2 , g ( r ) = B n n ( r ) / σ 2 f(r)=B_{rr}(r)/\sigma^2,\\ g(r)=B_{nn}(r)/\sigma^2 f(r)=Brr(r)/σ2,g(r)=Bnn(r)/σ2
其中， σ = u ′ 2 ‾ \sigma=\sqrt{\overline{u'^2}} σ=u′2为脉动速度强度， B r r B_{rr} Brr为纵向相关矩， f ( r ) f(r) f(r)为纵向相关系数； B n n B_{nn} Bnn为横向相关矩， g ( r ) g(r) g(r)为横向相关系数.
将 f ( r ) f(r) f(r)在原点邻域泰勒展开，并进行量纲分析，可以得到
1 λ f 2 = − 1 2 ( d 2 f d r 2 ) r = 0 \frac{1}{\lambda_f^2}=-\frac{1}{2}\left(\frac{{\rm d^2}f}{{\rm d}r^2}\right)_{r=0} λf21=−21(dr2d2f)r=0
λ f \lambda_f λf也称耗散涡的平均尺度或耗散尺度.将此式代入 f ( r ) f(r) f(r)
L f = ∫ 0 ∞ f ( r ) d r L_f=\int_0^\infty f(r){\rm d}r Lf=∫0∞f(r)dr
表示纵向相关的积分尺度.
同样的横向相关系数 g ( r ) g(r) g(r)也有类似的性质.
除了上述空间相关，还有对同一空间点上不同时间的相关，称为欧拉时间相关.
进而速度方向相同时又称自相关，自相关系数如下定义
R E ( t ) = u ′ ( t 0 ) u ′ ( t 0 + t ) ‾ σ 2 R_E(t)=\frac{\overline{u'(t_0)u'(t_0+t)}}{\sigma^2} RE(t)=σ2u′(t0)u′(t0+t)
相似的，泰勒展开，有
1 τ E 2 = − 1 2 ( d 2 R E d t 2 ) t = 0 \frac{1}{\tau_E^2}=-\frac{1}{2}\left(\frac{{\rm d^2}R_E}{{\rm d}t^2}\right)_{t=0} τE21=−21(dt2d2RE)t=0
称为欧拉耗散时间尺度.
J E = ∫ 0 ∞ R E ( t ) d t J_E=\int_0^\infty R_E(t){\rm d}t JE=∫0∞RE(t)dt
称为欧拉时间积分尺度，作为紊流中脉动速度最长时间相关的度量.
2.2三阶相关矩
略（该部分运动学分析再结合动力学，推导卡门-霍华斯方程）
2.3卡门-霍华斯方程
σ 2 ∂ f ∂ t − σ 3 ( ∂ k ∂ r + 4 k r ) = 2 ν σ 2 r ∂ ∂ r [ 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 3 f ) ] \sigma^2\frac{\partial f}{\partial t}-\sigma^3\left(\frac{\partial k}{\partial r}+\frac{4k}{r}\right)=2\nu\frac{\sigma^2}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left[\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^3f)\right] σ2∂t∂f−σ3(∂r∂k+r4k)=2νrσ2∂r∂[r21∂r∂(r3f)]
此为均匀各向同性紊流的基本方程，但此方程也不封闭.
洛强斯基不变量， ∫ 0 ∞ r 4 f d r \int_0^\infty r^4f{\rm d}r ∫0∞r4fdr，用于确定紊流的衰变规律.
我们有
v 2 λ 5 ∼ v 7 t 5 = c o n s t . v^2\lambda^5\sim v^7t^5=const. v2λ5∼v7t5=const.
v ∼ t − 5 / 7 v\sim t^{-5/7} v∼t−5/7即紊动按 t − 5 / 7 t^{-5/7} t−5/7衰减， λ ∼ t 2 / 7 \lambda\sim t^{2/7} λ∼t2/7即紊流尺度随 t 2 / 7 t^{2/7} t2/7增加.当t充分长时，粘性起主要作用.根据单位质量的耗散能 ϵ = ν 2 ( ∂ u i ∂ x k + ∂ u k ∂ x i ) ∼ ν v 2 λ 2 \epsilon=\frac{\nu}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_k}+\frac{\partial u_k}{\partial x_i}\right)\sim\nu\frac{v^2}{\lambda^2} ϵ=2ν(∂xk∂ui+∂xi∂uk)∼νλ2v2与单位质量动能变化率的比较，得到
λ ∼ v t , v ∼ ( ν t ) − 5 / 4 \lambda\sim\sqrt{vt},\\ v\sim(\nu t)^{-5/4} λ∼vt,v∼(νt)−5/4
此为紊流最后阶段的衰变规律.
洛强斯基不变量是在假定三阶纵向相关系数 k k k按 e − r e^{-r} e−r变化的情况下导出的，并不是任何时候都成立.
3、谱分析
上述方法无法回答紊流能量按其频率如何分布等问题.
谱分析利用傅里叶变换把能量按频率或波数的分布函数与相关矩取得联系，从而知道其中一个量，就可通过计算求出另一个量.
傅里叶分析处理紊流脉动：
u ′ ( t ) = ∑ k = 0 m ( b k c o s ( ω k t ) + c k s i n ( ω k t ) ) u'(t)=\sum_{k=0}^m(b_kcos(\omega_kt)+c_ksin(\omega_kt)) u′(t)=k=0∑m(bkcos(ωkt)+cksin(ωkt))
或
u ′ ( t ) = ∑ k = 0 m a k e i ω k t u'(t)=\sum_{k=0}^ma_ke^{i\omega_kt} u′(t)=k=0∑makeiωkt
自相关与能量函数间的变换对：
B ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ E t ( ω ) e i ω τ d ω , E t ( ω ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ B ( τ ) e − i ω τ d τ B(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}E_t(\omega)e^{i\omega\tau}{\rm d}\omega,\\ E_t(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}B(\tau)e^{-i\omega\tau}{\rm d}\tau B(τ)=∫−∞∞Et(ω)eiωτdω,Et(ω)=2π1∫−∞∞B(τ)e−iωτdτ
此二式形成 B ( τ ) B(\tau) B(τ)与 E t ( ω ) E_t(\omega) Et(ω)的傅里叶变换对.
我们有
ω i T i = k i l i = 2 π （ i 不求和） \omega_iT_i=k_il_i=2\pi（i不求和） ωiTi=kili=2π（i不求和）
这里 ω i \omega_i ωi为圆频率， T i T_i Ti为周期， l i l_i li为波长， k i k_i ki为 2 π 2\pi 2π长度上波的数目.
3.1一维能谱（t不写出）
一维纵向能谱
一维横向能谱
3.2三维能谱（t不写出）
E ( k ) = 2 π k 2 E i i ( k ) E(k)=2\pi k^2E_{ii}(k) E(k)=2πk2Eii(k)为波数空间半径为 k k k的球面上的动能，称作能谱.
3.3能谱动力学方程
等号左边为能谱的局部变化，右边第一项为 传输谱，第二项为耗散谱
讨论：
-
略去 F ( k , t ) F(k,t) F(k,t)
不考虑涡间的能量传递，意味着粘性作用较大，即雷诺数较小的情况
可将上式写成
此时能谱、耗散谱、传输谱
这里的 k e k_e ke对应最大能谱值， k e k_e ke附近的区间E值较大，称为载能涡区. 定义 L e = 1 k e L_e=\frac{1}{k_e} Le=ke1表示载能涡的平均大小.
-
耗散谱
耗散集中的区间称为主耗散涡区,对应的波数 k d k_d kd.同样也可定义长度 L d L_d Ld.
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传输谱
小波数时，相当于粘性很小，雷诺苏很大的情况.近似的有 ∂ E ∂ t = F \frac{\partial E}{\partial t}=F ∂t∂E=F.此时 F ( k , t ) F(k,t) F(k,t)为负值，即大尺度涡只传出能量或传出大于传入.
大波数时，时间影响很小，即 ∂ E ∂ t ≈ 0 \frac{\partial E}{\partial t}\approx0 ∂t∂E≈0，统计恒定的，即 F ( k , t ) ≈ 2 ν k 2 E ( k , t ) F(k,t)\approx2\nu k^2E(k,t) F(k,t)≈2νk2E(k,t)，全部传输来的能量均用于耗散.
很大的情况.近似的有 ∂ E ∂ t = F \frac{\partial E}{\partial t}=F ∂t∂E=F.此时 F ( k , t ) F(k,t) F(k,t)为负值，即大尺度涡只传出能量或传出大于传入.
大波数时，时间影响很小，即 ∂ E ∂ t ≈ 0 \frac{\partial E}{\partial t}\approx0 ∂t∂E≈0，统计恒定的，即 F ( k , t ) ≈ 2 ν k 2 E ( k , t ) F(k,t)\approx2\nu k^2E(k,t) F(k,t)≈2νk2E(k,t)，全部传输来的能量均用于耗散.
