代码随想录算法day30 | 动态规划算法part03 | 01背包问题二维，01背包问题一维，416. 分割等和子集

正式开始背包问题，背包问题还是挺难的，虽然大家可能看了很多背包问题模板代码，感觉挺简单，但基本理解的都不够深入。

背包问题，力扣上没有原题，题目是在卡码网找的

动态规划：01背包理论基础

本题力扣上没有原题，大家可以去卡码网第46题 (opens new window)去练习，题意是一样的。

正式开始讲解背包问题！

对于面试的话，其实掌握01背包和完全背包，就够用了，最多可以再来一个多重背包。

如果这几种背包，分不清，我这里画了一个图，如下：

416.分割等和子集1

除此以外其他类型的背包，面试几乎不会问，都是竞赛级别的了，leetcode上连多重背包的题目都没有，所以题库也告诉我们，01背包和完全背包就够用了。

而完全背包又是也是01背包稍作变化而来，即：完全背包的物品数量是无限的。

所以背包问题的理论基础重中之重是01背包，一定要理解透！

leetcode上没有纯01背包的问题，都是01背包应用方面的题目，也就是需要转化为01背包问题。

所以我先通过纯01背包问题，把01背包原理讲清楚，后续再讲解leetcode题目的时候，重点就是讲解如何转化为01背包问题了。

01 背包

有 n 件物品和一个最多能背重量为 w 的背包。第 i 件物品的重量是 weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

这是标准的背包问题，以至于很多同学看了这个自然就会想到背包，甚至都不知道暴力的解法应该怎么解了。

这样其实是没有从底向上去思考，而是习惯性想到了背包，那么暴力的解法应该是怎么样的呢？

每一件物品其实只有两个状态，取或者不取，所以可以使用回溯法搜索出所有的情况，那么时间复杂度就是 O(2^n)，这里的 n 表示物品数量。

所以暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化！

在下面的讲解中，我举一个例子：

背包最大重量为4。

物品为：

	重量	价值
物品0	1	15
物品1	3	20
物品2	4	30

问背包能背的物品最大价值是多少？

以下讲解和图示中出现的数字都是以这个例子为例。

（为了方便表述，下面描述统一用容量为XX的背包，放下容量（重量）为XX的物品，物品的价值是XX）

二维dp数组01背包

依然动规五部曲分析一波。

确定dp数组以及下标的含义

我们需要使用二维数组，为什么呢？

因为有两个维度需要分别表示：物品和背包容量

如图，二维数组为 dp[i][j]。

那么这里 i 、j、dp[i][j] 分别表示什么呢？

i 来表示物品、j表示背包容量。

（如果想用 j 表示物品，i 表示背包容量行不行？都可以的，个人习惯而已）

我们来尝试把上面的二维表格填写一下。

动态规划的思路是根据子问题的求解推导出整体的最优解。

我们先看把物品0 放入背包的情况：

背包容量为0，放不下物品0，此时背包里的价值为0。

背包容量为1，可以放下物品0，此时背包里的价值为15.

背包容量为2，依然可以放下物品0 （注意 01背包里物品只有一个），此时背包里的价值为15。

以此类推。

再看把物品1 放入背包：

背包容量为 0，放不下物品 0 或者物品 1，此时背包里的价值为 0。

背包容量为 1，只能放下物品0，背包里的价值为15。

背包容量为 2，只能放下物品0，背包里的价值为15。

背包容量为 3，上一行同一状态，背包只能放物品 0，这次也可以选择物品1了，背包可以放物品1 或者物品0，物品1价值更大，背包里的价值为20。

背包容量为 4，上一行同一状态，背包只能放物品 0，这次也可以选择物品 1 了，背包可以放下物品 0 和物品 1，背包价值为 35。

以上举例，是比较容易看懂，我主要是通过这个例子，来帮助大家明确 dp数组的含义。

上图中，我们看 dp[1][4] 表示什么意思呢。

任取物品0，物品1 放进容量为4的背包里，最大价值是 dp[1][4]。

通过这个举例，我们来进一步明确 dp数组的含义。

即 dp[i][j] 表示从下标为 [0-i] 的物品里任意取，放进容量为 j 的背包，价值总和最大是多少。

要时刻记着这个 dp数组的含义，下面的一些步骤都围绕这dp数组的含义进行的，如果哪里看懵了，就来回顾一下 i 代表什么，j 又代表什么。

确定递推公式

这里在把基本信息给出来：

	重量	价值
物品0	1	15
物品1	3	20
物品2	4	30

对于递推公式，首先我们要明确有哪些方向可以推导出 dp[i][j]。

这里我们 dp[1][4] 的状态来举例：

求取 dp[1][4] 有两种情况：

放物品1
还是不放物品1

如果不放物品1，那么背包的价值应该是 dp[0][4] 即容量为4的背包，只放物品0的情况。

推导方向如图：

如果放物品1， 那么背包要先留出物品1的容量，目前容量是4，物品1 的容量（就是物品1的重量）为3，此时背包剩下容量为1。

容量为1，只考虑放物品0 的最大价值是 dp[0][1]，这个值我们之前就计算过。

所以放物品1 的情况 = dp[0][1] + 物品1 的价值，推导方向如图：

两种情况，分别是放物品1 和不放物品1，我们要取最大值（毕竟求的是最大价值）

dp[1][4] = max(dp[0][4], dp[0][1] + 物品1 的价值)

以上过程，抽象化如下：

不放物品 i：背包容量为 j，里面不放物品 i 的最大价值是dp[i - 1][j]。
放物品i：背包空出物品 i 的容量后，背包容量为 j - weight[i]，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]且不放物品 i 的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品 i 的价值），就是背包放物品 i 得到的最大价值

递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

dp数组如何初始化

关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。

首先从 dp[i][j] 的定义出发，如果背包容量 j 为 0 的话，即 dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：

再看其他情况。

状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])可以看出 i 是由 i -1 推导出来，那么 i 为0的时候就一定要初始化。

dp[0][j]，即：i 为 0，存放编号 0 的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

那么很明显当 j < weight[0] 的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号 0 的物品重量还小。

当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号 0 物品。

代码初始化如下：

java">for (int j = 0 ; j < weight[0]; j++) {  // 当然这一步，如果把dp数组预先初始化为0了，这一步就可以省略，但很多同学应该没有想清楚这一点。dp[0][j] = 0;
}
// 正序遍历
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {dp[0][j] = value[0];
}

此时dp数组初始化情况如图所示：

dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化了，那么其他下标应该初始化多少呢？

其实从递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出 dp[i][j] 是由左上方数值推导出来了，那么其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖。

初始-1，初始-2，初始100，都可以！

但只不过一开始就统一把dp数组统一初始为0，更方便一些。

如图：

最后初始化代码如下：

java">// 初始化 dp
int[][] dp = new int[n][bagweight + 1];
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {dp[0][j] = value[0];
}

费了这么大的功夫，才把如何初始化讲清楚，相信不少同学平时初始化dp数组是凭感觉来的，但有时候感觉是不靠谱的。

确定遍历顺序

在如下图中，可以看出，有两个遍历的维度：物品与背包重量

那么问题来了，先遍历物品还是先遍历背包重量呢？

其实都可以！！但是先遍历物品更好理解。

那么我先给出先遍历物品，然后遍历背包重量的代码。

java">// weight 数组的大小 就是 物品个数
for(int i = 1; i < weight.length(); i++) { // 遍历物品for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);}
}

先遍历背包，再遍历物品，也是可以的！（注意我这里使用的二维dp数组）

例如这样：

java">// weight 数组的大小 就是物品个数
for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量for(int i = 1; i < weight.length(); i++) { // 遍历物品if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);}
}

为什么也是可以的呢？

要理解递归的本质和递推的方向。

dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);递归公式中可以看出dp[i][j] 是靠 dp[i-1][j] 和 dp[i - 1][j - weight[i]] 推导出来的。

dp[i-1][j] 和 dp[i - 1][j - weight[i]] 都在 dp[i][j] 的左上角方向（包括正上方向），那么先遍历物品，再遍历背包的过程如图所示：

再来看看先遍历背包，再遍历物品呢，如图：

大家可以看出，虽然两个for循环遍历的次序不同，但是dp[i][j]所需要的数据就是左上角，根本不影响dp[i][j]公式的推导！

但先遍历物品再遍历背包这个顺序更好理解。

其实背包问题里，两个for循环的先后循序是非常有讲究的，理解遍历顺序其实比理解推导公式难多了。

举例推导dp数组

来看一下对应的dp数组的数值，如图：

最终结果就是dp[2][4]。

建议大家此时自己在纸上推导一遍，看看dp数组里每一个数值是不是这样的。

做动态规划的题目，最好的过程就是自己在纸上举一个例子把对应的dp数组的数值推导一下，然后在动手写代码！

很多同学做dp题目，遇到各种问题，然后凭感觉东改改西改改，怎么改都不对，或者稀里糊涂就改过了。

主要就是自己没有动手推导一下dp数组的演变过程，如果推导明白了，代码写出来就算有问题，只要把dp数组打印出来，对比一下和自己推导的有什么差异，很快就可以发现问题了。

本题力扣上没有原题，大家可以去卡码网第46题 (opens new window)去练习，题意是一样的，代码如下：

java">import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);int n = scanner.nextInt();int bagweight = scanner.nextInt();int[] weight = new int[n];int[] value = new int[n];for (int i = 0; i < n; ++i) {weight[i] = scanner.nextInt();}for (int j = 0; j < n; ++j) {value[j] = scanner.nextInt();}int[][] dp = new int[n][bagweight + 1];for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {dp[0][j] = value[0];}for (int i = 1; i < n; i++) {for (int j = 0; j <= bagweight; j++) {if (j < weight[i]) {dp[i][j] = dp[i - 1][j];} else {dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);}}}System.out.println(dp[n - 1][bagweight]);}
}

总结

背包问题是动态规划里的经典类型题目，大家要细细品味。

可能有的同学并没有注意到初始化和遍历顺序的重要性，我们后面做力扣上背包面试题目的时候，大家就会感受出来了。

一维dp数组01背包（滚动数组）

说一说滚动数组，其实在前面的题目中我们已经用到过滚动数组了，就是把二维dp降为一维dp

那么我们通过01背包，来彻底讲一讲滚动数组！

接下来还是用如下这个例子来进行讲解

背包最大重量为4。

物品为：

	重量	价值
物品0	1	15
物品1	3	20
物品2	4	30

问背包能背的物品最大价值是多少？

对于背包问题其实状态都是可以压缩的。

在使用二维数组的时候，递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

其实可以发现如果把 dp[i - 1] 那一层拷贝到 dp[i] 上，表达式完全可以是：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);

与其把 dp[i - 1] 这一层拷贝到 dp[i] 上，不如只用一个一维数组了，只用 dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。

这就是滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。

读到这里估计大家都忘了 dp[i][j] 里的 i 和 j 表达的是什么了，i 是物品，j 是背包容量。

dp[i][j] 表示从下标为 [0-i] 的物品里任意取，放进容量为 j 的背包，价值总和最大是多少。

一定要时刻记住这里 i 和 j 的含义，要不然很容易看懵了。

动规五部曲分析如下：

确定dp数组的定义

在一维dp数组中，dp[j] 表示：容量为 j 的背包，所背的物品价值可以最大为 dp[j]。

一维dp数组的递推公式

二维dp数组的递推公式为： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

一维dp数组，其实就是上一层 dp[i-1] 这一层拷贝到 dp[i] 来。

所以在上面递推公式的基础上，去掉 i 这个维度就好。

递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

以下为分析：

dp[j] 为容量为 j 的背包所背的最大价值。

dp[j] 可以通过 dp[j - weight[i]] 推导出来，dp[j - weight[i]] 表示容量为 j - weight[i] 的背包所背的最大价值。

dp[j - weight[i]] + value[i] 表示容量为 [j - 物品 i 重量] 的背包加上物品 i 的价值。（也就是容量为 j 的背包，放入物品 i 了之后的价值即：dp[j]）

此时dp[j]有两个选择，一个是取自己 dp[j] 相当于二维dp数组中的 dp[i-1][j]，即不放物品 i，一个是取 dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品 i，指定是取最大的，毕竟是求最大价值，

所以递归公式为：

java">dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

可以看出相对于二维dp数组的写法，就是把 dp[i][j] 中 i 的维度去掉了。

一维dp数组如何初始化

关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。

dp[j]表示：容量为 j 的背包，所背的物品价值可以最大为 dp[j]，那么 dp[0] 就应该是 0，因为背包容量为 0 所背的物品的最大价值就是 0。

那么dp数组除了下标 0 的位置，初始为 0，其他下标应该初始化多少呢？

看一下递归公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非 0 下标都初始化为 0 就可以了。

这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了。

那么我假设物品价值都是大于 0 的，所以dp数组初始化的时候，都初始为 0 就可以了。

一维dp数组遍历顺序

代码如下：

java">for(int i = 0; i < weight.length; i++) { // 遍历物品for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}
}

这里大家发现和二维dp的写法中，遍历背包的顺序是不一样的！

二维dp遍历的时候，背包容量是从小到大，而一维dp遍历的时候，背包是从大到小。

为什么呢？

倒序遍历是为了保证物品 i 只被放入一次！。但如果一旦正序遍历了，那么物品 0 就会被重复加入多次！

举一个例子：物品 0 的重量weight[0] = 1，价值value[0] = 15

如果正序遍历

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30

此时dp[2]就已经是30了，意味着物品0，被放入了两次，所以不能正序遍历。

为什么倒序遍历，就可以保证物品只放入一次呢？

倒序就是先算dp[2]

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 15 （dp数组已经都初始化为0）

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

所以从后往前循环，每次取得状态不会和之前取得状态重合，这样每种物品就只取一次了。

那么问题又来了，为什么二维dp数组遍历的时候不用倒序呢？

因为对于二维dp，dp[i][j]都是通过上一层即dp[i - 1][j]计算而来，本层的dp[i][j]并不会被覆盖！

（如何这里读不懂，大家就要动手试一试了，空想还是不靠谱的，实践出真知！）

再来看看两个嵌套for循环的顺序，代码中是先遍历物品嵌套遍历背包容量，那可不可以先遍历背包容量嵌套遍历物品呢？

不可以！

因为一维dp的写法，背包容量一定是要倒序遍历（原因上面已经讲了），如果遍历背包容量放在上一层，那么每个dp[j]就只会放入一个物品，即：背包里只放入了一个物品。

所以一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维其实是有很大差异的！，这一点大家一定要注意。

举例推导dp数组

一维dp，分别用物品0，物品1，物品2 来遍历背包，最终得到结果如下：

本题力扣上没有原题，大家可以去卡码网第46题 (opens new window)去练习，题意是一样的，代码如下：

java">import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);int n = scanner.nextInt();int bagweight = scanner.nextInt();int[] weight = new int[n];int[] value = new int[n];for (int i = 0; i < n; ++i) {weight[i] = scanner.nextInt();}for (int j = 0; j < n; ++j) {value[j] = scanner.nextInt();}int[] dp = new int[bagweight + 1];for(int i = 1; i < n; i++) { // 遍历物品for(int j = bagweight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}}System.out.println(dp[bagweight]);}
}

总结

以上的讲解可以开发一道面试题目（毕竟力扣上没原题）。

要求先实现一个纯二维的01背包，如果写出来了，然后再问为什么两个for循环的嵌套顺序这么写？反过来写行不行？再讲一讲初始化的逻辑。

然后要求实现一个一维数组的01背包，最后再问，一维数组的01背包，两个for循环的顺序反过来写行不行？为什么？

注意以上问题都是在候选人把代码写出来的情况下才问的。

就是纯01背包的题目，都不用考01背包应用类的题目就可以看出候选人对算法的理解程度了。

相信大家读完这篇文章，应该对以上问题都有了答案！

此时01背包理论基础就讲完了，大家可以发现其实信息量还是挺大的。

不用再凭感觉或者记忆去写背包，而是有自己的思考，了解其本质，代码的方方面面都在自己的掌控之中。

即使代码没有通过，也会有自己的逻辑去debug，这样就思维清晰了。

416. 分割等和子集

本题是 01背包的应用类题目

力扣题目链接(opens new window)

题目难易：中等

给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

注意: 每个数组中的元素不会超过 100 数组的大小不会超过 200

示例 1:

输入: [1, 5, 11, 5]
输出: true
解释: 数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11].

示例 2:

输入: [1, 2, 3, 5]
输出: false
解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集.

提示：

1 <= nums.length <= 200
1 <= nums[i] <= 100

这道题目初步看，和如下两题几乎是一样的，大家可以用回溯法，解决如下两题

698.划分为k个相等的子集
473.火柴拼正方形

这道题目是要找是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

那么只要找到集合里能够出现 sum / 2 的子集总和，就算是可以分割成两个相同元素和子集了。

本题是可以用回溯暴力搜索出所有答案的，但最后超时了，也不想再优化了，放弃回溯，直接上01背包吧。

01背包问题

背包问题，大家都知道，有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第 i 件物品的重量是 weight[i]，得到的价值是 value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

背包问题有多种背包方式，常见的有：01背包、完全背包、多重背包、分组背包和混合背包等等。

要注意题目描述中商品是不是可以重复放入。

即一个商品如果可以重复多次放入是完全背包，而只能放入一次是01背包，写法还是不一样的。

要明确本题中我们要使用的是01背包，因为元素我们只能用一次。

回归主题：首先，本题要求集合里能否出现总和为 sum / 2 的子集。

那么来一一对应一下本题，看看背包问题如何来解决。

只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。

背包的体积为sum / 2
背包要放入的商品（集合里的元素）重量为元素的数值，价值也为元素的数值
背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
背包中每一个元素是不可重复放入。

以上分析完，我们就可以套用01背包，来解决这个问题了。

动规五部曲分析如下：

确定dp数组以及下标的含义

01背包中，dp[j] 表示：容量为 j 的背包，所背的物品价值最大可以为dp[j]。

本题中每一个元素的数值既是重量，也是价值。

套到本题，dp[j] 表示背包总容量（所能装的总重量）是 j，放进物品后，背的最大重量为 dp[j]。

那么如果背包容量为 target， dp[target] 就是装满背包之后的重量，所以当 dp[target] == target 的时候，背包就装满了。

拿输入数组 [1, 5, 11, 5]，举例， dp[7] 只能等于 6，因为只能放进 1 和 5。

而 dp[6] 就可以等于6了，放进1 和 5，那么dp[6] == 6，说明背包装满了。

确定递推公式

01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

本题，相当于背包里放入数值，那么物品 i 的重量是nums[i]，其价值也是nums[i]。

所以递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);

dp数组如何初始化

在01背包，一维dp如何初始化，已经讲过，

从 dp[j] 的定义来看，首先 dp[0]一定是0。

如果题目给的价值都是正整数那么非 0 下标都初始化为 0 就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非 0 下标就要初始化为负无穷。

这样才能让 dp数组在递推的过程中取得最大的价值，而不是被初始值覆盖了。

本题题目中只包含正整数的非空数组，所以非0下标的元素初始化为0就可以了。

代码如下：

java">// 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200
// 总和不会大于20000，背包最大只需要其中一半，所以10001大小就可以了
int[] dp = new int[10001];
Arrays.fill(dp, 0);

确定遍历顺序

如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！

代码如下：

java">// 开始 01背包
for(int i = 0; i < nums.length; i++) {for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);}
}

举例推导dp数组

dp[j] 的数值一定是小于等于 j 的。

如果dp[j] == j 说明，集合中的子集总和正好可以凑成总和j，理解这一点很重要。

用例1，输入[1,5,11,5] 为例，如图：

416.分割等和子集2

最后dp[11] == 11，说明可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

综上分析完毕，Java 代码如下：

java">class Solution {public boolean canPartition(int[] nums) {if(nums == null || nums.length == 0) return false;int n = nums.length;int sum = 0;for(int num : nums) {sum += num;}//总和为奇数，不能平分if(sum % 2 != 0) return false;int target = sum / 2;int[] dp = new int[target + 1];for(int i = 0; i < n; i++) {for(int j = target; j >= nums[i]; j--) {//物品 i 的重量是 nums[i]，其价值也是 nums[i]dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);}//剪枝一下，每一次完成內層的for-loop，立即檢查是否dp[target] == target，優化時間複雜度（26ms -> 20ms）if(dp[target] == target)return true;}return dp[target] == target;}
}