前缀和

前缀和：一段序列里的前n项和

给出n个数，在给出q次问询，每次问询给出L、R，快速求出每组数组中一段L至R区间的和

给出一段数组，每次问询为求出l到r区间的和

普通方法：L到R进行遍历，那么在每次求区间和的过程中时间复杂度为O(n)，q次问询时间复杂度为O(q*n)

前缀和：建立前缀和数组，sum[i]=sum[i-1]+arr[i]。（i-1存在越界的问题，所以i从1开始遍历）

              计算L到R的区间和，包括arr[L]和arr[R]两个值（边界值），区间和=arr[R]-arr[L-1]

              时间复杂度从O(q*n)降至O(q*1)

二维前缀和

二维前缀和数组是原数组它本身位置的数及其左上角全部的数

二维前缀和的应用：求二维数组中arr[x1][y1]到arr[x2][y2]区间内的数之和 

差分

给出n个数，再给出q次问询，每次问询给出L、R、X，要求在L到R上每一个值都加上X，直到最后输出这个数组 

普通方法：遍历，时间复杂度为O(q*n)

差分：建立差分数组，difference[i]=arr[i]-arr[i-1]，arr[i]=difference[i]+arr[i-1]。

        （同样i从1开始遍历）

          时间复杂度从O(q*n)降至O(q*1)

数组arr

1

1

1

1

1

1

差分数组difference

1

0

0

0

0

0

此时，L=2，R=4，X=1

操作方式：difference[L]=difference[L]+X，影响L之后的数字

                  difference[R+1]=difference[R+1]-X，避免影响R+1以及之后的数字

操作后的差分数组difference

1

1

0

0

-1

0

还原后的数组arr

1

2

2

2

1

1

二维差分

一维差分修改差分数组中的某个数，影响的是原数组它本身及其之后的数

二维差分修改差分数组中的某个数，影响的是原数组它本身及其右下角全部的数

二维差分的应用：对以 x1, y1 为左上角， x2, y2 为右下角的矩阵插入一个值 / 修改值