1，栈是什么？

上节介绍了线性表。栈（Stack）也是一种操作受限的线性表。

只允许在一端进行插入和删除操作的线性表即为栈。

栈类似理解为盘子或烤串。取放盘子时只能在一摞盘子顶部进行取放。烤肉时肯定是从签子的顶部串肉，吃串的时候也是从顶部开吃。

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2，栈的相关术语

• 空栈：即栈里没有存任何元素；
• 栈顶：允许插入的一端；
• 栈底：不允许插入和删除的一端；

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3，栈的基本操作

• InitStack(&S)：初始化栈。构造一个空栈S，分配内存空间；
• DestoryStack(&S)：销毁栈。销毁并释放栈S所占用的内存空间；
• Push(&S,x)：进栈，若栈S未满，则将x加入使之成为新栈顶；
• Pop(&S,&x)：若栈S非空，则弹出栈顶元素，并用x返回；（删除）；
• GetTop(S,&x)：读栈顶元素。若栈S非空，则用x返回栈顶元素。（只读取不删除）；
• StackEmpty(S)：判断一个栈S是否为空。若S为空，则返回true，否则返回false；

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4，栈的出栈顺序问题

进栈顺序：a->b->c->d->e。
有哪些合法的出栈顺序？

最简单的情况是依次进栈，所有元素都进栈之后，进行出栈操作，此时出栈的顺序即为：e,d,c,b,a

如果是进栈出栈穿插进行，会有很多种情况。如ab先入栈，然后执行一次出栈操作，继续使cde入栈，然后执行出栈操作：顺序为：b,e,d,c,a

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5，栈的顺序存储

顺序栈使用顺序存储方式实现，与顺序表类似。

顺序栈的定义（代码实现）：

#define MaxSize 10           //定义栈中元素最大个数
typedef int ElemType;        //此处代码示例使用int类型
typedef struct{  ElemType data [MaxSize];  //使用静态数组存放栈中元素int top;               //栈顶指针，一般指向栈顶元素
}SqStack;void testStack(){SqStack S;         //声明一个顺序栈//***后续操作***
}

上述栈的顺序实现方式，给各个数据元素分配连续的存储空间。大小为：MaxSize*Sizeof(ElemType)

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5.1，顺序栈的初始化和判空操作

初始化空栈时，一般将栈顶指针赋值为-1，判空同理。

//初始化栈
void InitStack(SqStack &S){S.top=-1;    //初始化栈顶指针
}//判断栈空
bool StackEmpty(SqStack S){if(S.top==-1){  //栈空return true;}else{      //不空return false;}
}

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5.2，顺序栈的进栈操作

进栈操作相当于增删改查中的增，顺序栈进栈操作的基本思路如下：

• 判断栈是否满，栈满则报错；
• 栈顶指针先加1；
• 新元素再入栈；
• 返回true；

代码实现如下：

//新元素入栈（注意操作顺序）
bool Push(SqStack &S,ElemType x){if(S.top==MaxSize-1){  //栈满return false;}S.top=S.top+1;   //指针先加1S.data[S.top]=x;  //新元素入栈return true;
}

指针加1和新元素入栈操作也可以简化为一步：

S.data[++S.top]=x;  //运行顺序为：先++,再赋值

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5.3，顺序栈的出栈操作

出栈操作相当于增删改查中的删，顺序栈出栈操作的基本思路如下：

• 先判断栈是否为空，栈空则报错；
• 栈顶元素先出栈；
• 栈顶指针再减1；
• 返回true；

代码实现如下：

//出栈
bool Pop(SqStack &S,ElemType &x){if(S.top==-1){    //栈空报错return false;}x=S.data[S.top];  //栈顶元素先出栈S.top=S.top-1;    //指针再减一return true;
}

新元素出栈和指针减一操作也可以简化为一步：

x=S.data[S.top--]; //运行顺序为：先赋值，再--

注意：出栈之后数据还残留在内存中，只是逻辑上被删除了。

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5.3，顺序栈读取栈顶元素

读取栈顶元素和出栈操作的区别在于，出栈会删除元素，读取栈顶元素不会，因此读取栈顶元素代码实现如下：

//读取栈顶元素
bool GetTop(SqStack S,ElemType &x){if(S.top==-1){    //栈空，报错return false;}   x=S.data[S.top];  //x记录栈顶元素return true;
}

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5.4，另一种设计方式

顺序栈的栈顶指针初始化时也可以指向0，即top指针可以指向下一个可以插入元素的位置，这种情况下，进栈操作和出栈操作也会有所变化，如下：

S.data[S.top++]=x;   //此为进栈操作。先赋值，再自增
x=S.data[--S.top];   //此即为出栈操作。先自减，再赋值

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5.5，共享栈

由于使用了静态数组，不难发现顺序栈的一个缺点：栈的大小不可变。

如何解决顺序栈的大小不可变的问题呢？

• 方案一：使用栈的链式存储方式实现；
• 方案二：一开始就给顺序栈分配大量存储空间，这必然导致内存的浪费，因此可以考虑使用共享栈，提高内存空间的使用率。

共享栈的特点：

• 逻辑上是两个栈，物理上二者共享同一片空间；
• 设置两个栈顶指针，一个赋值为-1，一个赋值为MaxSize；
• 放入数据元素时，两个栈一个往上，一个往下，两个栈都往中间增长；

共享栈的定义和初始化：

//共享栈的定义
typedef struct{ElemType data[MaxSize];int top0;int top1;
}ShStack;void InitStack(ShStack &S){S.top0=-1;   //初始化0号栈顶指针S.top1=MaxSize;   //初始化1号栈顶指针}

根据共享栈结构，共享栈栈满的条件为 top0+1==top1;如下图即为共享栈栈满的情形：

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知识结构梳理：

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6，栈的链式存储

回顾头插法建立单链表代码

//头插法建立单链表（带头结点）
LinkList List_HeadInsert(LinkList &L){//①初始化一个空的单链表L=(LinkList)malloc(sizeof(LNode));L->next=NULL;//②输入结点的值int x;scanf("%d",x);while(x!=9999){   //③对头结点进行后插LNode *s=(LNode *)malloc(sizeof(LNode));s->data=x;s->next=L->next;L->next=s;scanf("%d",&x);    //继续输入下一个待插入值}return L;
}

上述头插法建立单链表即每次都对头结点进行后插操作，建立起一个单链表。而此操作正好只在链头的一端进行，符合进栈操作的特性。同理，如果规定单链表只能在此端删除，此受限的单链表就和链栈等同了起来。此即为单链表的链式存储，该类型描述为以下代码。

typedef struct Linknode{ ElemType data;             //数据域struct Linknode *next;     //指针域
}*LiStack;                     //链栈类型定义

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7，队列是什么？

队列也是一种操作受限的线性表。

队列（Queue）：只允许在一端进行插入操作，另一端进行删除操作的线性表即为栈。

可以形象理解为，排队打饭的场景、排队过收费站的场景。都是队尾加入元素，队头删除元素。

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8，队列的相关术语

• 队头：删除数据元素的一端；
• 队尾：插入数据元素的一端；
• 空队列：即队列中无任何元素；

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10，队列的基本操作

• InitQUeue(&Q)：初始化队列，构造一个空队列Q；
• DestroyQueue(&Q)：销毁队列。销毁并释放队列Q所占用的内存空间；
• EnQueue(&Q,x)：入队，若队列Q未满，将下加入，使之成为新的队尾；
• DeQueue(&Q,&x)：出队，若队列Q非空，删除队头元素，并用x返回；
• GetHead(Q,&x)：读队头元素，若队列Q非空，则将队头元素赋值给x;
• QueueEmpty(Q)：判断队列是否为空，返回true或false；

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11，队列的顺序存储

队列采用顺序存储方式时，可以使用静态数组存放队列中的元素。

队列（顺序存储方式）的定义代码实现：

#define MaxSize 10            //定义队列最大元素个数
typedef int ElemType;
typedef struct{ElemType data[MaxSize];    //用静态数组存放队列元素int front,rear;            //队头指针和队尾指针
}SqQueue;void testQueue(){SqQueue Q;       //声明一个队列//后续操作。。。
}

注意，由于队列操作受限，队头删除，队尾插入，因此需要两个指针分别指向队头和队尾。

上述队列的顺序实现方式，给各个数据元素分配连续的存储空间。大小为：MaxSize*Sizeof(ElemType)

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11.1，顺序队列的初始化和判空操作

InitQUeue(&Q)：初始化队列，构造一个空队列Q；
QueueEmpty(Q)：判断队列是否为空，返回true或false；

一般规定，front队头指针指向队头元素，rear队尾指针指向队尾元素的后一个位置（即下一个应该插入元素的位置）。如下图所示：

顺序队列初始化的时候需要让队尾指针和队头指针同时指向0。同时这也是判断顺序队列是否为空的依据。 代码实现如下：

//初始化队列
void InitQueue(SqQueue &Q){//初始化时，队头队尾指针均指向0Q.front=Q.rear=0;
}//判断队列是否为空
bool QueueEmpty(SqQueue Q){if(Q.rear==Q.front){   //队空条件return true;}else{return false;}
}

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11.2，顺序队列的入队和出队操作

EnQueue(&Q,x)：入队，若队列Q未满，将下加入，使之成为新的队尾；
DeQueue(&Q,&x)：出队，若队列Q非空，删除队头元素，并用x返回；

①入队操作，即向队尾添加元素，具体思路如下：

• 先判断队列是否为满，若队满则报错；
• 将新元素插入队尾；
• 队尾指针后移；

思路很简单，但需要思考队列满的条件是什么？

首先，使用rear==MaxSize并不能表达队列存满。因为此时若有队头元素出队，队头指针会后移，静态数组出现空闲空间，如果此时有新元素入队，要能插入到队列前面空闲的位置。因此需思考新元素插入队尾后，如何让队尾指针重新指向队列中下一个空闲位置。

可以通过取余操作使队尾指针重新指向队列前面的空闲部分，代码语句是：Q.rear=(Q.rear+1)%MaxSize;

比如，假设静态数组最大容量为10，在rear为9时，插入元素，之后执行此语句使队尾指针指向下一个待插入位置，则此时 (9+1)%10=0，就指向数组下表为0的位置，使用模运算将存储空间在逻辑上变为了环状。

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因此队满情形，即队尾指针的下一个位置是队头，代码语句为：(Q.rear+1)%MaxSize==Q.front; 。使用模运算将存储空间在逻辑上变为了环状，队满的图示如下：

需要牺牲一个存储单元，队满情形下，不可让rear和front指向同一个位置，因为rear==front是判断队列是否为空的条件。

因此顺序队列完整的入队操作的代码如下：

//入队操作
bool EnQueue(SqQueue &Q,ElemType x){if((Q.rear+1)%MaxSize==Q.front){       //队满情形return false;    //报错}Q.data[Q.rear]=x;    //将x插入队尾Q.rear=(Q.rear+1)%MaxSize;     //队尾指针后移指向下一个待插入位置return true;
}

②队列的出队操作即从队头删除元素并用变量x返回其值，具体思路如下：

• 先判断队列是否为空，队空则报错；
• 不空，则将队头指针指向的数据元素赋值给变量x；
• front指针后移一位；

出队操作代码实现如下：

//出队操作
bool DeQueue(SqQueue &Q,ElemType &x){if(Q.rear==Q.front){return false;   //判断队空则报错}x=Q.data[Q.front];Q.front=(Q.front+1)%MaxSize;  //队头指针后移（转圈移动）return true;
}

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11.3，顺序队列获取队头元素的值

GetHead(Q,&x)：读队头元素，若队列Q非空，则将队头元素赋值给x;

代码实现如下：

//获取队头元素的值
bool GetHead(SqQueue Q,ElemType &x){if(Q.rear==Q.front){  //队空则报错return false;}x=Q.data[Q.front];return true;
}

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11.4，计算队列元素个数

通过以上学习，了解到队满和队空的条件为：

• 队满：(Q.rear+1)%MaxSize==Q.front;
• 队空：Q.front==Q.rear;

根据队头指针和队尾指针的值，我们可以很方便地计算出队列内元素的个数：

• 队列内元素个数为：(rear+MaxSize-front)%MaxSize 个；

上图例子中，rear为2，front为3，则当前队列内元素个数为(2+10-3)%10 = 9个。

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11.5，另一种实现方式

在上述队列的顺序实现方式，我们牺牲了一个存储空间来区别队满和队空两种状态。但有些算法题中可能会要求不准浪费这一个单位的存储空间。那我们应当如何设计来保证队列的性能呢？

方案一：在队列结构内定义变量size，记录队列此时存放的数据元素个数。

代码定义如下：

//另一种实现方式
#define MaxSize 10
typedef struct{ElemType data[MaxSize];int front,rear;int size;   //记录队列当前长度
}SqQueue;

• 初始化时，rear=front=0; size=0；
• 插入成功size++；
• 删除成功size–；

虽然此时队满和队空时，队头指针和队尾指针都是指向同一个位置，但可通过size的值进行判断队满还是队空：

• 队满条件：size==MaxSize；
• 队空条件：size==0；

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方案二：在队列结构内定义变量tag，用来标识最近进行的是插入操作还是删除操作。(因为只有删除操作才会导致队空，只有插入操作才会导致队满)

代码定义如下：

//方案二
#define MaxSize 10
typedef struct{ElemType data[MaxSize];int front,rear;int tag;  //标识位，最近执行的是删除操作tag=0，插入操作tag=1;
}SqQueue;

• 初始化时，rear=front=0; tag=0；
• 插入成功，tag设置为1；
• 删除成功，tag设置为0；

此时，可以搭配tag值判断队满还是队空：

• 队满： front==rear且tag为1；
• 队空：front==rear且tag为0；

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12，队列的链式存储

链式队列和普通的单链表相比，无非是链式队列额外要求元素删除只能在队头，元素插入只能在队尾。

队列链式存储代码声明如下：

//定义链式队列内的结点
typedef struct LinkNode{ElemType data;struct LinkNode *next;
}LinkNode;//定义链式队列
typedef struct{LinkNode *front,*rear; //队列的头指针和尾指针/*如果开发场景内经常用到队列长度，此处可以补充声明一个int型的length变量*/
}LinkQueue;

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12.1，链式队列的初始化和判空操作

链式队列分为带头结点和不带头结点。初始化时，如下图所示：

链式队列的代码实现

①链式队列的初始化和判空操作（带头结点）

//初始化链式队列（带头结点）
void InitQueue(LinkQueue &Q){//初始化时front和rear都指向头结点Q.front=Q.rear=(LinkNode *)malloc(sizeof(LinkNode));Q.front->next=NULL;
}//判空操作（带头结点）
bool IsEmpty(LinkQueue Q){if(Q.front==Q.rear){return true;}else{return false;}
}

②链式队列的初始化和判空操作（不带头结点）

//初始化链式队列（不带头结点）
void InitQueue(LinkQueue &Q){//初始化时front和rear都指向NULLQ.front=NULL;Q.rear=NULL;
}//判空操作（不带头结点）
bool IsEmpty(LinkQueue Q){if(Q.front==NULL){return true;}else{return false;}
}

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12.2，链式队列的入队和出队操作

EnQueue(&Q,x)：入队，若队列Q未满，将下加入，使之成为新的队尾；
DeQueue(&Q,&x)：出队，若队列Q非空，删除队头元素，并用x返回；

①链式队列入队操作的基本思想：

• 使用malloc函数申请新结点；
• 数据域赋值；
• 新结点插入到rear之后；
• 修改表尾指针；

代码实现如下：

//新元素入队（带头结点）
void EnQueue(LinkQueue &Q,ElemType x){LinkNode *s=(LinkNode *)malloc(sizeof(LinkNode));s->data=x;s->next=NULL;Q.rear->next=s; //新结点插入到rear之后Q.rear=s;       //修改表尾指针
}

//新元素入队（不带头结点）
void EnQueue(LinkQueue &Q,ElemType x){//申请新结点LinkNode *s=(LinkNode *)malloc(sizeof(LinkNode));s->data=x;s->next=NULL;if(Q.front==NULL){   //不带头结点情况下，空队列中插入第一个元素需要特殊处理Q.front=s;Q.rear=s;}else{Q.rear->next=s;   //新结点插入到rear结点之后Q.rear=s;         //修改rear指针}
}

②链式队列的出队操作基本思想：

• 队列若为空，出队失败，返回false;
• 声明一指针p，指向待删除结点；
• 使用变量x，将删除的结点的数据域返回；
• 修改头结点的后向指针；
• 如果删除的是队列内最后一个结点，需要特殊处理；
• 释放指针p

代码实现如下：

//队头元素出队（带头结点）
bool DeQueue(LinkQueue &Q,ElemType &x){if(Q.front==Q.rear){  //空队return false;}LinkNode *p=Q.front->next;x=p->data;     //使用x返回队头元素Q.front->next=p->next;  //修改头结点next指针if(Q.rear==p){  //最后一个出队的元素，需修改rear指针Q.rear=Q.front;}free(p);return true;
}

//队头元素出队（不带头结点）
bool DeQueue(LinkQueue &Q,ElemType &x){if(Q.front==NULL){  //空队return false;}LinkNode *p=Q.front;x=p->data;     //使用x返回队头元素Q.front=p->next;  //修改front指针if(Q.rear==p){  //最后一个出队的元素，需修改rear指针Q.rear=NULL;Q.front=NULL;}free(p);return true;
}

注：链式存储队列一般不会存满，除非内存不足。

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13，双端队列

双端队列也是一种操作受限的线性表。它允许从两端插入，两端删除。

特殊的双端队列有：

• 输入受限的双端队列：允许从一端输入，两端删除的线性表。
• 输出受限的双端队列：允许从两端插入，一段删除的线性表。
  
  可以根据栈或双端队列性质判断输出序列的合法性。并且栈中合法的序列，双端队列内一定也合法。