谓词公式的永真性

 

如果谓词公式P，对个体域D上的任何一个解释都取得真值T，则称P在D上是永真的。如果P在每个非空个体域上均永真，则称P永真。

 

如果谓词公式P，对于个体域D上所有解释都取得假值F，则称P在D上是永假的。如果P在每个非空个体域上均永假，则称P永假。

 

谓词公式的永假性又称为不可满足性或不相容性。

 

 

 

谓词公式的可满足性

 

对于谓词公式P，如果至少存在一个解释，使得公式P在此解释下的真值为T，则称公式P是可满足的。按照此定义，对谓词公式P，如果不存在任何解释，使得P的取值为T，则称公式为不可满足的。

 

所以，谓词公式P永假与不可满足是等价的。若P永假，则也可称P是不可满足的。

 

 

 

谓词公式的等价性与永真蕴含

 

设P与Q是两个谓词公式，D是它们共同的个体域。

 

若对D上的任何一个解释，P与Q的取值都相同，则公式P和Q在域D上是等价的。

 

如果D是任意个体域，则称P和Q是等价的，记作P⇔Q

 

对于谓词公式P和Q，如果P→Q永真，则称P永真蕴含Q，且称Q为P的逻辑结论，称P为Q的前提，记作P⇒Q

 

 

 

在推理中，有如下一些推理规则：

 

P规则：在推理的任何步骤上都可引入前提

T规则：推理时，如果前面步骤中有一个或多个永真蕴含公式S，则可把S引入推理过程中

CP规则：如果能从R和前提集合中推出S来，则可从前提集合推出R→S来。

反证法：P⇒Q，当且仅当P^­­­¬Q⇔F，即Q为P的逻辑结论，当且仅当P^­­­¬Q是不可满足的。

 

 

 

加以推广可得到如下定理：

 

Q为P1，P2，……，Pn的逻辑结论，当且仅当（P1^P2^……^Pn）^­­­¬Q是不可满足的。

 

 

 

置换：一个表达式的置换就是在该表达式中用置换项置换变量。

 

置换是形如{t1|x1,t2|x2,……，tn|xn}的一个有限集，其中xi是变量，ti是不同于xi的项（常量、变量、函数），ti|xi表示用xi代换ti，并且要求：

 

ti与xi不能相同

xi不能循环地出现在另一个ti中，i=1,2……n

x1，x2，……，xn不能相同

例如，{a|x，b|y，f(x)|z，}，{f(z)|x，y|z}都是置换。但{g(y)，f(x)|y}不是一个置换。原因是它在x与y之间出现了循环置换现象。通常，置换使用希腊字母θ，σ，α，λ等来表示的。不含任何元素的置换称为空置换，以ε表示。

 

设F为谓词公式，σ为一个置换，则称Fσ为谓词公式F的特例。

 

置换乘法作用是将两个置换合成为一个置换。

 

假设θ={t1|x1,t2|x2,……,tn|xn}，λ={u1|y1,u2|y2,……,um|ym}是两个置换，则θ与λ的合成也是一个置换，成为置换乘法，其作用于公式E时，相当于先θ后λ对E的作用。它是从集合{t1λ|x1,t2λ|x2,……tnλ|xn,u1|y1,u2|y2,……,um|ym}中删除以下两种元素，最后剩下的元素所构成的集合：

 

当tiλ=xi是，删除tiλ|xi

当yi∈{x1,x2,……,xn}时，删除ui|yi

 

 

合一

 

设有公式集{E1,E2,……,En}和置换θ，若E1θ=E2θ=……=Enθ成立，则称E1,E2,……,En是可合一的，且θ被称为合一置换。

 

设σ为谓词公式E1,E2,……,En一个合一置换，若对公式E1,E2,……,En的任意一个置换θ，都存在一个置换λ，使得θ=σλ，则称σ是E1,E2,……,En的最一般合一置换，记为mgu(most general unifier)。

 

设有两个谓词公式：E1:P(x,y,2)和E2:P(x,f(a),g(b))，分别从E1与E2的第一个符号开始逐个向右比较，此时发现E1中的y与E2中的f(a)不同，则它们构成了一个不一致集（或叫做差异集）：D1={y,f(a)}，当继续向右比较时，又发现E1中的z与E2中g(b)不同，则又得到一个不一致集：D2={z,g(b)}。