---

1. 简介

1.1 Description Logics

为什么使用DL：由于RDFS并不满足于所有的任务，有些内容无法被表达或推断。

描述逻辑（Description Logic）是基于对象的知识表示的形式化，是一阶谓词逻辑（FOPL）的一个子集。它是模型理论的形式语义，比FOPL更简单的语法。它具有以下两个重要特征：

• 可判别的（Decidable）：表达能力与算法复杂性的权衡

• 易于理解（Well understood）：源于80年代中期到90年代早期的工作

描述逻辑限制了可以使用的谓词类型，其基本的依照造句法构建的模块有原子概念（一元谓词）、一元角色（二元谓词）和个体（常量）。

• 一元谓词（Unary predicates）表示概念（concept membership）：$Person(x)$

• 二元谓词（Binary predicates）表示实例之间的角色（roles between instances）：$hasChild(x,y)$

关于术语的说明：DL文献中使用的术语与RDFS中的术语略有不同，类和概念（class and concept）是可以互换的术语；角色、关系和属性（role, relation and property）是可以互换的术语。

1.2 用描述逻辑定义本体

通过使用必要条件和充分条件来描述类（概念）的情况：

考虑一个类C的一个属性A。

• 属性A是C类的一个必要条件。

  • 如果一个对象是C的一个实例，那么它就有属性A

• 属性A是C类的充分条件。

  • 如果一个对象有属性A，那么它就是C的一个实例

1.3 描述逻辑的推理任务

• 满足（Satisfaction）：这个类可以有任何实例吗？

• 归纳（Subsumption）：C类的每一个实例是否一定是D类的实例？

• 分类（Classification）：这个对象是哪些类的实例？

2. 语法

2.1 Expressions

描述逻辑的表达包括：

• 概念和角色（concept & role）描述：

  • 原子概念（Atomic concepts）：Person

  • 原子角色（Atomic roles）： hasChild

  • 复杂概念（Complex concepts）：“person with two living parents”

  • 复杂角色（Complex roles）：“has parent’s brother” (i.e. “has uncle”)

• 公理（Axioms），即对概念或角色之间的关系进行陈述：

  • “Every person with two living parents is thankful”

  • “hasUncle is equivalent to has parent’s brother”

2.2 Concept Constructors

概念构造器用于构建复杂的概念。

2.2.1 布尔概念构造器（Boolean Concept Constructors）

• Intersection

  • $Child\sqcap Happy$

  • ⊓ 代表“与”，即为既是 Child 又是 Happy 的一类事物，读作“Child AND Happy”

• Union

  • $Rich\bigsqcup Famous$

  • ⊓ 代表“或”，即为是 Rich 或者是 Famous （或两者皆是）的一类事物，读作“Rich OR Famous”

• Complement

  • $\neg Happy$

  • ¬ 代表“非”，即为不是 Happy 的一类事物，读作“NOT Happy”

2.2.2 限制（Restrictions）

• Existential

  • $\exists hasPet.Cat$

  • ∃ 代表“存在”，即为有一些宠物是猫的一类事物，必须有 至少一个 宠物，读作“hasPet SOME Cat”

• Universal

  • $\forall hasPet.Cat$

  • ∀ 代表“任意”，即为所有宠物都是猫（宠物只有猫）的一类事物，包括 没有 宠物，读作“hasPet ONLY Cat”

• Number

  • $=1hasPet$：有且只有一只宠物的一类事物

  • $\ge 2hasPet$：有至少两只宠物的一类事物

2.2.3 其他

• Universal concept

  • ⊤ 代表全集，读作“top”

• Contradiction

  • ⊥ 代表空集，读作“bottom”

• Nominals (singleton concepts)

  • { 𝑥 } \{𝑥\} {x}

2.3 Role Constructors

角色构造器用于构建复杂的角色。

• 具体领域（数据类型）

• Inverse roles：$R^{-}$

• Role composition：$R\circ S$

• Transitive roles：$R^{+}$

2.4 Knowledge Bases

一个描述逻辑知识库（knowledge base, KB）由两个部分组成：

• TBox：术语（terminology）

  • 一组描述领域结构的公理（即概念模式）

  • Concepts, roles

• ABox：断言（assertions）

  • 一组描述具体情形（数据）的公理

  • Instances

2.4.1 TBox Axioms

含义	写法
Concept inclusion (C是D的一个子类，即C是一个原始的或部分的类)	$C⊑D$
Concept equivalence (C与D相等)	$C\equiv D$
Role inclusion (R是S的一个子属性)	$R⊑S$
Role equivalence (R与S相等)	$R\equiv S$
Role transitivity (R composed with itself is a subproperty of R)	$R^{+}⊑R$

D是C的的一个必要条件：$C⊑D$

D是C的一个充分条件：$C⊒D$

D是C的充要条件：$C\equiv D$

2.4.2 ABox Axioms

• 概念实例化（Concept instantiation）

  • $C(x)$

  • x is of type C

• 角色实例化（Role instantiation）

  • $R(x,y)$

  • x has R of y

Every person is either living or dead：$Person⊑Living\bigsqcup Dead$

Every child who eats only cake is unhealthy：$Child\sqcap \forall eats.Cake\sqcap \exists eats.Cake⊑\neg Healthy$

No elephants can fly：$Elephant\sqcap FlyingThing\equiv \perp$

3. 描述逻辑和谓词逻辑

描述逻辑（Description Logics）是一阶谓词逻辑的一个子集，具有简化的句法。每一个DL表达式都可以转换为一个等价的FOPL表达式。

谓词逻辑（Predicate Logic）是一种形式语言，其中命题用谓词、变量和量词表示。在谓词逻辑中：

每个概念 𝐶 都被转化为一个公式 ${\varphi }_C(x)$ 。

每个角色 𝑅 都被翻译成一个公式 ${\varphi }_R(x，y)$ 。

布尔概念构造器：

• ${\varphi }_{(}\neg C)(x)=\neg {\varphi }_C(x)$

• ${\varphi }_{(}C\bigsqcup D)(x)={\varphi }_C(x)\vee {\varphi }_D(x)$

• ${\varphi }_{(}C\sqcap D)(x)={\varphi }_C(x)\wedge {\varphi }_D(x)$

限制条件：

• ${\varphi }_{(}\exists R.C)(x)=\exists y.{\varphi }_R(x,y)\wedge {\varphi }_C(y)$

• ${\varphi }_{(}\forall R.C)(x)=\forall y.{\varphi }_R(x,y)\Rightarrow {\varphi }_C(y)$

Axioms通过如下方式翻译：

• Concept inclusion $C⊑D$

  • $\forall x.{\varphi }_C(x)\Rightarrow {\varphi }_D(x)$

• Concept equivalence $C\equiv D$

  • $\forall x.{\varphi }_C(x)\iff {\varphi }_D(x)$

example: “Every child who eats cake is happy”

DL: $Child\sqcap \exists eats.Cake⊑Happy$

(1) $\forall x{\varphi }_{(}Child\sqcap \exists eats.Cake)(x)\Rightarrow {\varphi }_{H}appy(x)$

(2) $\forall x{\varphi }_{C}hild(x)\wedge {\varphi }_{(}\exists eats.Cake)(x)\Rightarrow {\varphi }_{H}appy(x)$

(3) $\forall x{\varphi }_{C}hild(x)\wedge \exists y{\varphi }_{e}ats(x,y)\wedge {\varphi }_{C}ake(y)\Rightarrow {\varphi }_{H}appy(x)$

因此我们可以得到最终的PL即为（3）