2022牛客寒假算法基础集训营1

ST表

倍增与二进制划分相结合可以降低很多题目的算法复杂度。主要常见的应用为求区间最值问题（RMQ）的ST表，以及求解最近公共祖先（LCA）的树上倍增思想。
以下总结的关于RMQ问题的思想。

功能

O（1）时间复杂度内在线回答数组中在下标 $[l,r]$之间的数最大值为多少。但是需要NlogN的时间预处理。

定义

$f[i,j]:表示数列A中下标在区间[i,i+2^j-1]里的数的最大值，也就是从i开始的2^j个数的最大值。$
递推边界：$f[i,0]=A[i]$

状态转移方程

$$f[i,j]=max(f[i,j-1],f[i+2^{j-1},j-1])$$
$$f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);$$
即长度为 $2^j$ 的的区间的最大值等于左右两个长度为 $2^{j-1}$的区间的最大值中较大的一个。

查询

当查询任意区间的最值时，我们需要先计算出一个满足以下条件的k值，$2^k\le r-l+1<2^{k+1}$,也即使2的次幂小于区间长度的同时尽量大的一个k值。

代码

	int n; cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> a[i];for (int i = 1; i <= n; i++) f[i][0] = a[i];int t = log(n) / log(2) + 1;//mp数组记录长度为j的区间对应的k值for (int i = 0; i <= t; i++)for (int j = 1 << i; j < min(n + 1, 1 << (i + 1)); j++)mp[j] = i;for (int j = 1; j < t; j++)for (int i = 1; i <= n - (1 << j) + 1; i++)f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);int q; cin >> q;while (q--){int l, r; cin >> l >> r;int k = mp[r - l + 1];cout << max(f[l][k], f[r - (1 << k) + 1][k]) << endl;}

拓展（二维RMQ问题）

有两种方法

1. $f[i][j][k]:以点(i,j)为左上角坐标，边长为2^k的矩阵中的最值$
   $$\begin{gathered} f[i][j][k]=f[i][j][k-1]+ \\ f[i+(1<<(k-1))][j][k-1]+ \\ f[i][j+(1<<(k-1))][k-1]+ \\ f[i+(1<<(k-1))][j+(1<<(k-1))][k-1] \end{gathered}$$类似于二维区间前缀和, 其实就是一个 “田”字， 一次查询即为答案，时间复杂度$O(1)$

2. $f[i][j][k]:第i行，区间[j,j+2^k-1]中的最值$
   转移方程与一般的ST表一样，只是多了一维。一次查询需要循环k次， 时间复杂度$O(k)$

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Solution

很明显，对于模3相等的初始值，其相同区间的分数变化量相同。所以我们只需要分别求出初始值为0， 1， 2时所有子区间各自对应的区间和即可。详细细节见下面的代码。

Code

const int N = 3e5 + 5;
int cnt = 0;
int f[3][N][20];//注意数组越界
int mp[N];int main()
{IOS;int n, q; cin >> n >> q;string s; cin >> s;s = " " + s;int t = log(n) / log(2) + 1;for (int i = 0; i < t; i++)for (int j = 1 << i; j < 1 << (i + 1); j++)mp[j] = i;//注意数组越界assert(1 << t < 3e5);for (int k = 0; k < 3; k++)for (int j = 1; j <= n; j++)if (s[j] == 'W') f[k][j][0] = 1;else if (s[j] == 'L' && k) f[k][j][0] = -1;for (int j = 1; j < t; j++)for (int i = 1; i <= n - (1 << j) + 1; i++){int p = i + (1 << (j - 1));f[0][i][j] = f[0][i][j - 1] + f[(0 + f[0][i][j - 1]) % 3][p][j - 1];f[1][i][j] = f[1][i][j - 1] + f[(1 + f[1][i][j - 1]) % 3][p][j - 1];f[2][i][j] = f[2][i][j - 1] + f[(2 + f[2][i][j - 1]) % 3][p][j - 1];//假设第一维的值为k//注意：不能像上面的预处理一样单独循环三遍不同的k，因为当前状态的k可能会用到不同k值的状态}int l, r, p;while (q--){int ans;cin >> l >> r >> ans;//倍增思想的应用while (l <= r){ans += f[ans % 3][l][mp[r - l + 1]];l += 1 << mp[r - l + 1];}cout << ans << endl;}return 0;
}