全部笔记的汇总贴（视频也有传送门）：中科大-凸优化

线性规划：目标线性、等式约束线性、不等式约束线性

二次规划：目标二次（凸）、等式约束线性、不等式约束线性

QCQP：目标二次、等式约束二次、不等式约束二次

例：投资组合问题（portfolio optimization）

优化问题可描述为：
$$\begin{gathered} \max P_1{x}_1+\cdots +P_n{x}_n \\ s.t.x_1+\cdots +x_n\le B(=B) \\ {x}_1,\cdots ,x_n\ge 0 \end{gathered}$$

考虑收益与风险，优化目标：收益大且风险小
$$\begin{gathered} {\bar{P}}^T=[1.05,1.05,1]（房子、股市、银行） \\ \Sigma =\left[\begin{array}{ccc}1.2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right] \end{gathered}$$

优化问题描述
$$\begin{gathered} \min X^T\Sigma X（极小化风险） \\ s.t.{\bar{P}}^{T}X\ge r_{min}（收益） \\ {1}^{T}X=B \\ X\ge 0 \end{gathered}$$

一、半正定规则（Semi-definite Programming）

$$\begin{gathered} \min tr(CX) \\ s.t.tr(A_{i}X)=b_i,i=1,\cdots ,P \\ X⪰0（半正定矩阵，X\in S_{+}^n）C\in {\mathbb{R}}^{n\ast n},A_i\in {\mathbb{R}}^{n\ast n},b_i\in \mathbb{R} \end{gathered}$$

例：特例，对角矩阵 d i a g { x } diag\{x\} diag{x}

min ⁡ ( d i a g { x } ) T d i a g { x } s . t . ( d i a g { A i } ) T d i a g { x } = b i , i = 1 , ⋯ , P （ 其 中 d i a g { x } 当 成 关 于 此 向 量 的 线 性 规 划 问 题 ） d i a g { x } ≥ 0 \min (diag\{x\})^Tdiag\{x\}\\s.t.\;(diag\{A_i\})^Tdiag\{x\}=b_i,i=1,\cdots,P（其中diag\{x\}当成关于此向量的线性规划问题）\\ diag\{x\}\ge0 min(diag{x})Tdiag{x}s.t.(diag{Ai​})Tdiag{x}=bi​,i=1,⋯,P（其中diag{x}当成关于此向量的线性规划问题）diag{x}≥0

$$\begin{gathered} \min C^{T}x \\ s.t.x_1{A}_1+\cdots +x_n{A}_n⪯B（半正定约束） \\ x\in {\mathbb{R}}^n,B、A_1、\cdots 、A_n\in S^k,C\in {\mathbb{R}}^n \end{gathered}$$

例：

$$\begin{gathered} A(x)=A+x_1{A}_1+\cdots +x_n{A}_n,A_i\in {\mathbb{R}}^{P\ast q},i=0,\cdots ,n,x\in {\mathbb{R}}^n \\ 谱范数：||A(x)|{|}_2=A(x)最大奇异值 \\ \min ||A(x)|{|}_2 \\ ||A(x)|{|}_2\le \sqrt{S},S>0\iff A^T(x)A(x)-SI⪯0 \\ 即\min \sqrt{S}（非凸） \\ s.t.A^T(x)A(x)⪯SI（凸约束） \end{gathered}$$

下一章传送门：中科大-凸优化 笔记（lec28）-多目标优化问题