在数理方程、概率论等学科经常遇到以下的含参变量的积分
,
它们依次为第一类和第二类欧拉(Euler 1707~1783 瑞士数学家)积分,或依次称为贝塔(Bata)函数和伽马(Gamma)函数,这一节主要讨论这两个函数的若干性质。
11.3.1 伽马函数
显然,我们应首先考虑伽马函数
(3.1)
的收敛问题。式(3.1)右端的积分不仅是一个无穷积分,而且当时,还是被积函数的一个瑕点。为此我们把它拆成两个积分。
和
注意到是以为瑕点的瑕积分,且注意到
而在时是收敛的,所以也收敛()。又因为,有
所以,,当时,有
这说明积分
对于都是收敛的,总之当,积分和同时收敛,所以积分
在收敛,从而伽马函数在有定义。
在任何上一致收敛。事实上,。
对,,而收敛,由判别法,关于在一致收敛。
对,,而收敛,由判别法,关于在一致收敛。
由的任意性及连续概念的局部性知,伽马函数在是连续的。
下面还可以进一步证明伽马函数的可微性,即当时各阶导数都存在,并且可由在积分号下求导得到,即
(3.2)
事实上采用证明连续性时同样的方法,可证瑕积分
与无穷积分
关于在上一致收敛,这里且为任意正数。从而再由定理2.5和定理2.9推知式(3.2)成立。
当时,利用分部积分公式,有
即伽马函数有递推关系
(3.3)
反复运用式(3.3),得
(3.4)
公式(3.3)、(3.4)可用于逐步减小自变量的值,直到它不超过1;即伽马函数对任意的自变量值的计算,都可化为对的值的计算。
在式(3.4)中,取,并注意
就得到
这个式子说明伽马函数是阶乘的推广。这就是说,把本来只对自然数有意义的函数推广到对一切正数都有意义了。
11.3.2 贝塔函数
对于贝塔函数
(3.5)
采用上一小节同样方法,可证明在区域连续。
如果在式(3.5)的右端积分中作替换,我们有
即 (3.6)
这说明贝塔函数关于具有对称性。
贝塔函数还有如下递推公式
(3.7)
事实上,由分部积分
移项解出,便得到所要证明的式(3.7)。
如果在式(3.5)中作替换,则得
(3.8)
反复运用公式(3.7),有
从而
可见
从上式可看到贝塔函数与伽马函数之间的联系,但上述等式仅限于取非负的整数方能成立,限制公式的应用价值,我们当然希望把它能够推广到和 的整个定义范围内,这正是下一节讨论的内容。
11.3.3 贝塔函数与伽马函数之间的联系
定理3.1 设,则
(3.9)
证: 在积分
中作代换,则有
所以
(3.10)
其中为正方形。作半径分别为和,圆心在原点的圆域和(图3.1),则由于式(3.10)中积分的被积函数为非负的,所以有
但在积分
中作极坐标替换,得
(利用式(3.8))
(这里)
所以
同理,可求
从而根据式(3.11),有
代入式(3.10),得
即
式(3.9)得证。
例 3.2 证明
证: 由于
作替换,有
又当时,,当时,,所以
例3.3 利用等式 证明
证: 由贝塔函数与伽马函数的关系式(3.9)及例3.1,有
例 3.4 利用欧拉积分计算积分
解: 令,有
, ,
并且当时;当时。从而
=
=
=
=
=