首先，让我们定义一些符号：

$p_{\text{data}}(x)$：真实数据的概率分布
$p_{\text{model}}(x;\theta )$：由参数 $\theta$ 确定的模型的概率分布
$\mathcal{D}$：从真实数据分布中抽取的数据集
我们的目标是找到一组参数 $\theta$，使得 $p_{\text{model}}(x;\theta )$ 尽可能地接近 $p_{\text{data}}(x)$。使用负对数似然函数和 KL 散度作为度量，我们可以分别定义这两个目标。

最小化负对数似然函数：
$${\theta }^{\ast }=\underset{\theta }{\mathrm{argmin}};L(\theta )=\underset{\theta }{\mathrm{argmin}};-\sum _{x\in \mathcal{D}}\log p_{\text{model}}(x;\theta )$$

最小化 KL 散度：
$${\theta }^{\ast }=\underset{\theta }{\mathrm{argmin}};D_{\text{KL}}(p_{\text{data}}|p_{\text{model}})=\underset{\theta }{\mathrm{argmin}};\sum _x{p}_{\text{data}}(x)\log \frac{p_{\text{data}}(x)}{p_{\text{model}}(x;\theta )}$$

现在，让我们证明最小化负对数似然函数的学习策略等价于最小化 KL 散度的学习策略。首先我们将 KL 散度的表达式进行分解：

$$D_{\text{KL}}(p_{\text{data}}|p_{\text{model}})=\sum _x{p}_{\text{data}}(x)\log p_{\text{data}}(x)-\sum _x{p}_{\text{data}}(x)\log p_{\text{model}}(x;\theta )$$

我们注意到第一项是关于 $\theta$ 的常数项，因为它仅与真实数据分布有关。因此，在最小化 KL 散度时，我们只关心第二项：

$$\underset{\theta }{\mathrm{argmin}};D_{\text{KL}}(p_{\text{data}}|p_{\text{model}})=\underset{\theta }{\mathrm{argmin}};-\sum _x{p}_{\text{data}}(x)\log p_{\text{model}}(x;\theta )$$

我们知道无法直接获取真实数据的概率分布 $p_{\text{data}}(x)$，但可以通过数据集 $\mathcal{D}$ 进行估计。假设数据集中有 $N$ 个独立同分布的样本，我们可以将上式改写为：

$$\underset{\theta }{\mathrm{argmin}};-\frac{1}{N}\sum _{x\in \mathcal{D}}\log p_{\text{model}}(x;\theta )$$

并且，在大样本极限下（${\lim }_{N\to \infty }$），这个表达式就变成了负对数似然函数：

$$\underset{\theta }{\mathrm{argmin}};-\sum _{x\in \mathcal{D}}\log p_{\text{model}}(x;\theta )$$

因此，我们证明了在大样本极限下，最小化负对数似然函数的学习策略等价于最小化 KL 散度的学习策略。