1.随机变量X

1.通常认知的"x"与随机变量X

我们通常意义上的 x 是自变量，y = f(x) 中的自变量。
但是 X 更多意义是对应法则 " f " ，X完整写法是 X(ω) ω ∈ Ω。
X这个对应法则，可以将样本点映射到实数轴上。
那么X这个对应法则到底是什么，又怎么映射的呢？

2.两个实例解释 X 如何个映射法。

实例1：投一枚硬币，出现正面和反面的概率近似1/2.
实例2：明天下雨或者晴天的可能均为1/2.
现在我们定义为（实质上反应到数学表达上，即用X映射）：在这里插入图片描述

很明显，事件 “正反雨晴”是样本点 ω ，这些事件反应到数轴上即为：“0 1” ，“ 1 0”.
而表格可知，这两个不同的场景都遵循一个规则：
在这里插入图片描述
都抽象成了 X(ω) 这种规则，即 " X(ω) "将现实中的事件，变成了抽象的数字，方便进行数学处理，如：我们可以引入微积分这种强大的工具。

也可以说：随机变量 X 将一个随机不确定的过程，带入了又具体表示的数学世界，将“凌乱的概率” 变的有迹可循(如：我们可以用F(x) 表示X的概率分布)。

3.回过头看随机变量 X 的定义

设随机试验 E 的样本空间 Ω = { ω } ,如果对于每一个事件ω ∈ Ω，都有唯一的实数 x ∈ R 与之对应。并且对于 ∀x ∈ R ,有 {ω | X <= x, ω ∈ Ω}是随机事件，则称定义在 Ω 上的实值单值函数 X(ω) 为随机变量，记 X.

定义的意思是：随机变量是：“定义在样本空间 Ω 上，而取决于实数轴的函数”叫随机变量。

2.X 的分布函数 F(X) 的理解。

1.定义

设 X 是一个随机变量，称函数 F(x) = p { X<= x } (x ∈ R), 为随机变量 X 的分布函数，或称 X 服从F(X) 分布，记 X ~ F(x)。

2.解析定义

①X 的分布函数
分布，即概率。“X的分布函数"，又可以说 “X的概率函数”。
通常有：幂函数，指数函数，三角函数。我们发现“幂指数三角”都反应了这种函数的规则 “f” （f也可以看作一个过程）。类比，”X的概率函数“是否反应了某种规则呢？

当然，“X的概率函数”也反应了一种规则。即概率。之所以我们很难理解 F(x) 是因为它的对应法则不符合我们通常的认知。
什么什么？概率也能是规则？当然可以对应法则（映射）是一个过程，那么求概率为何不能是一个过程呢？
重点：综上，那么 ”X的分布函数 F(x) = p{X<=x} " 即将 “{X<=x}” 这一坨东西，经过“P”求概率的过程，最终映射成了F(x), 故F(x)就是概率.

那么我们接下来的疑问就是， “{X <= x}”这一坨了，它是个啥？凭啥它就可以求概率了？
它还真可以求，因为"{X <= x}"表示的是一个或多个 “样本点” 或 “事件” 。事件当然可以求概率，为啥它就表示样本点了呢？
重点：由上对 X 的理解，X是将样本点映射到数轴上的一种法则，记X(ω) ，ω ∈ Ω
则 X 与 “x” （数轴上的点）关系为 x = X(ω)。现在我们给出 x 的范围，即 " {X <= x} "是不是反解的结果就是样本点 ω 。

至此，我们已经完整知晓了 “x” 是怎样求出概率的，是通过随机变量 X ，反解出 ω ，再通过 p 这个过程求出的概率 F(x)。

而分布函数 F(x) 的对应法则 “F” 正是反应了这一过程，也因此，由于”X“ 规则的不同，导致 F(x) 规则的不同常见有:

在这里插入图片描述

②F(x) = p { X<= x }
F(x) = p { X<= x }，求的是概率，由 x 经过两次映射，一次是逆映射通过X法则反解出样本点ω ，再通过一次正映射 p{ } 求出事件概率，两次映射规则，共同构成从实数轴x 到现实具体事件概率的 "F"法则。
注：这里并不关心 P{ } 如何映射的以及 X 的规则又是个啥，我们只关心 F(x) 到底是个啥，到底干了啥，咋来的，为什么要来就可以了。

③ (x ∈ R)
因为 x 是数轴上的取值，当然是R(由上可知)