作者：非妃是公主
专栏：《智能优化算法》
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个性签：顺境不惰，逆境不馁，以心制境，万事可成。——曾国藩

文章目录

• 专栏推荐
• 序
• 一、算法流程
• • 1. 反射
  • 2. 膨胀
  • 3. 收缩
  • • Ⅰ. $x_r$好一些的情况
    • Ⅱ. $x_h$好一些的情况
  • 4. 压缩
• 二、一个求解的实例
• the end……

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序

下山单纯型法是一种智能优化算法，对于一个 n 维问题，主要通过先产生 n+1 个可行解，然后通过反射、收缩、膨胀、压缩 4 个操作，不断逼近最优解的过程。

给定 n+1 个顶点$x_i,i=1,...,n+1$，这些点对应的函数值为$f(x_i)$。

定义如下相关参数

参数名称	参数值
反射(reflection)	$\alpha =1$
膨胀(expansion)	$\gamma =2$
收缩(contration)	$\beta =0.5$
压缩(shrinkage)	$\delta =0.5$

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一、算法流程

1. 反射

1. 按照目标函数对n+1个点进行从好到差排序，确定最坏点，第二坏点和最好点的下表$h,s,l$；

2. 计算除去最差点外其它点的中心点：$c=\frac{1}{n}{\sum }_{j=1}^n{x}_j$;

3. 反射操作：$x_r=c+\alpha (c-x_h),f_r=f(x_r)$。如果$f_l<=f_r<=f_s$，则接受 $x_r$；

这里要注意反射操作时，对 $c-x_h$ 的理解，可以理解其为一个向量，从 $c$ 点加上一个由 $x_h$ 指向 $c$ 的向量。

如下图所示：

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2. 膨胀

如果我们上面的反射取得了很好的效果，我们还要再膨胀一下，因为也许可能取得更好的效果，因此，在$f_r<f_l$的条件下，即反射后比之前三角形的最优位置还小，那么我们就要进一步向这个方向移动，计算膨胀点为：

$$x_e=c+\gamma (x_r-c)$$

从上面可以看出，之前的系数$\alpha =1$，现在的系数$\gamma =2$，是膨胀的。

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3. 收缩

如果$f_r>=f_s$，则利用$x_h$（最坏点）和$x_r$（反射点）中较好的一个点来计算收缩点$x_c$。

这里可能发生的情况就是，我们反射时候波动的范围较大，因此我们需要进一步缩小一定的范围。

如果$x_h$好一些的话，我们就向$x_h$方向走，但是，注意是收缩，少走一些。

如果$x_r$好一些的话，同理，我们就像$x_r$方向走，但是，同样注意要少走一些。

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Ⅰ. $x_r$好一些的情况

即$f_s<=f_r<f_h$，向外收缩，计算$x_c=c+\beta (x_r-c),f_c=f(x_c)$。如果$f_c<=f_r$（证明有效果），则接受$x_c$；

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Ⅱ. $x_h$好一些的情况

即$f_r>=f_h$，计算$x_c=c+\beta (x_h-c),f_c=f(x_c)$。如果$f_c<f_h$（证明有效果），接受$x_c$。

注意：这里的$\beta =0.2$，不是上面的$\alpha =1$操作，因此，叫做收缩。

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4. 压缩

最后，如果$f_r>f_h$，这个时候，证明结果已经很坏了。进行压缩操作，怎么压缩呢？整体向最好的点的方向压缩，如下：

$$x_j=x_l+\delta (x_j-x_i),f_j=f(x_j),j=1,...,n+1且j\ne l$$

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二、一个求解的实例

公式太多了，打不出来，附上手稿，如有纰漏，欢迎指正！手动推演了 3 代，具体如下图：

the end……

下山单纯型算法到这里就要结束啦~~到此既是缘分，欢迎您的点赞、评论、收藏！关注我，不迷路，我们下期再见！！

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