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Lucas 定理：A、B是非负整数，p是质数。AB写成p进制：A=a[n]a[n-1]...a[0]，B=b[n]b[n-1]...b[0]。

则组合数C(A,B)与C(a[n],b[n])*C(a[n-1],b[n-1])*...*C(a[0],b[0])  modp同

即：Lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p) 

For non-negative integers m and n and a prime p, the following congruence relation holds:

where

and

are the base p expansions of m and n respectively.

 

首先我们注意到 n=(ak...a2,a1,a0)p  =  (ak...a2,a1)p * p + a0

                                                       =  [n/p]*p+a0

                                                    且m=[m/p]+b0

 

只要我们更够证明 C(n,m)=C([n/p],[m/p]) * C(a0,b0)  (mod p)

剩下的工作由归纳法即可完成

 

我们知道对任意质数p:   (1+x)^p  == 1+(x^p)  (mod p) 

注意!这里一定要是质数  ................(为什么)

 

对 模p 而言

 上式左右两边的x^m的系数对模p而言一定同余(为什么),其中左边的x^m的系数是 C(n,m) 而由于a0和b0都小于p

右边的x^m ( = x^(([m/p]*p)+b0)) 一定是由 x^([m/p]*p) 和 x^b0 相乘而得 (即发生于 i=[m/p] , j=b0 时) 因此我们就有了

 

C(n,m)=C([n/p],[m/p]) * C(a0,b0)  (mod p) 

HDU 3037

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3037

基本的组合数学，C(N+M,M)然后对P取模

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<ctime>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#define C    240
#define TIME 10
#define LL long long
using namespace std;
LL PowMod(LL a,LL b,LL MOD){LL ret=1;while(b){if(b&1) ret=(ret*a)%MOD;a=(a*a)%MOD;b>>=1;}return ret;
}
LL fac[100005];
LL Get_Fact(LL p){fac[0]=1;for(int i=1;i<=p;i++)fac[i]=(fac[i-1]*i)%p;
}
LL Lucas(LL n,LL m,LL p){LL ret=1;while(n&&m){LL a=n%p,b=m%p;if(a<b) return 0;ret=(ret*fac[a]*PowMod(fac[b]*fac[a-b]%p,p-2,p))%p;n/=p;m/=p;}return ret;
}
int main(){int t;scanf("%d",&t);while(t--){LL n,m,p;scanf("%I64d%I64d%I64d",&n,&m,&p);Get_Fact(p);printf("%I64d\n",Lucas(n+m,m,p));}return 0;
}

HDU 4399 Xiao Ming's Hope

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4349

Lucas定理推广

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<ctime>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#define C    240
#define TIME 10
#define LL long long
using namespace std;
int main(){int n;while(scanf("%d",&n)!=EOF){int cnt=0;while(n){if(n&1)cnt++;n>>=1;}printf("%d\n",1<<cnt);}return 0;
}