前言

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概述

首先从一个流感的例子讲起，医院在八月根据当月数据训练了模型 $f$，假设其特征 $\mathbf{x}$ 为「有无咳嗽」，预测标签 $y$ 为「有无得流感」。

后续几个月模型 $f$ 运转良好，但到第二年二月时，医院发现 $f$ 预测为「得流感」的人数大幅增加，此时我们知道这与「冬季是流感高发期」有关。但一个问题随即出现了，用八月数据训出的 $f$ 是否在二月也能有效预测，其在八月数据上学得的先验是否会影响二月时的判断。

将问题形式化，我们可以发现八月和二月的 $p(y\mid \mathbf{x})=p($流感 $\mid$ 咳嗽$)$ 和 $p(y)=p($流感$)$ 明显发生了变化，因此过往在「covariate shift」上的研究不再适用。

继续深入，我们可以发现 $p(\mathbf{x}\mid y)=p($咳嗽 $\mid$ 流感$)$ 似乎并没有发生太大的变化，由此引入本篇文章所关注的「label shift」问题，其代表下述这种情况：

• 标签边际分布 $p(y)$ 发生变化，但条件分布 $p(\mathbf{x}\mid y)$ 不变

随后文中提出「Black Box Shift Estimation (BBSE)」方法，利用「黑盒预测器」来估计变化的 $p(y)$，且仅要求其对应「混淆矩阵 (confusion matrices)」是可逆的，即使预测器是 biased，inaccurate 或 uncalibrated。

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问题设定

源域：$\mathcal{X}\times \mathcal{Y}$ 上的分布 $P$，$D=\{({\mathbf{x}}_i,y_i){\}}_{i=1}^n$，基于 $D$ 训练得到的黑盒模型 $f:\mathcal{X}\to \mathcal{Y}$

目标域：$\mathcal{X}\times \mathcal{Y}$ 上的分布 $Q$，$X^{\prime }=[{\mathbf{x}}_1^{\prime };...;{\mathbf{x}}_m^{\prime }]$

目标：检测 $P\to Q$ 是否发生了「label shift」，若发生了则重新训练模型，使其适应分布 $Q$

三大假设：

• 「label shift / target shift」假设：
  $$p(\mathbf{x}\mid y)=q(\mathbf{x}\mid y)\forall x\in \mathcal{X},y\in \mathcal{Y}$$
• $\forall y\in \mathcal{Y}$，若 $q(y)>0$ 则 $p(y)>0$
• $f$ 对应的混淆矩阵 (confusion matrix) ${\mathrm{C}}_p(f)$ 可逆，矩阵定义如下：
  $${\mathbf{C}}_P(f):=p(f(x),y)\in {\mathbb{R}}^{|\mathcal{Y}|\times |\mathcal{Y}|}$$

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BBSE

「Black Box Shift Estimation (BBSE)」方法主要用于估计 $w(y)=q(y)/p(y)$，其核心思路如下：
$$\begin{array}{rl}q(\hat{y})& =\sum _{y\in \mathcal{Y}}q(\hat{y}\mid y)q(y)\\ & =\sum _{y\in \mathcal{Y}}p(\hat{y}\mid y)q(y)=\sum _{y\in \mathcal{Y}}p(\hat{y},y)\frac{q(y)}{p(y)}\end{array}$$

其中 $\hat{y}$ 即 $f$ 给出的伪标记，而 $q(\hat{y}\mid y)=p(\hat{y}\mid y)$ 则来自于下述推导：
$$\begin{array}{rl}& q(\hat{y}\mid y)=\sum _{y\in \mathcal{Y}}q(\hat{y}\mid \mathbf{x},y)q(\mathbf{x}\mid y)=\sum _{y\in \mathcal{Y}}q(\hat{y}\mid \mathbf{x},y)p(\mathbf{x}\mid y)\\ & =\sum _{y\in \mathcal{Y}}{p}_f(\hat{y}\mid \mathbf{x})p(\mathbf{x}\mid y)=\sum _{y\in \mathcal{Y}}p(\hat{y}\mid \mathbf{x},y)p(\mathbf{x}\mid y)=p(\hat{y}\mid y)\end{array}$$

其关键部分在于 $q(\mathbf{x}\mid y)=p(\mathbf{x}\mid y)$ 的假设。随后便可以得到：
$$\begin{array}{c}{\mu }_{\hat{y}}={\mathrm{C}}_{\hat{y}\mid y}{\mu }_y={\mathrm{C}}_{\hat{y},y}w\\ \hat{\mathbf{w}}={\hat{\mathbf{C}}}_{\hat{y},y}^{-1}{\hat{\mathbf{\mu }}}_{\hat{y}}\\ {\hat{\mathbf{\mu }}}_y=\mathrm{diag}\left({\hat{\mathbf{\nu }}}_y\right)\hat{\mathbf{w}}\end{array}$$

其中各符号定义如下，其核心思想就是本节最开头的公式，只不过为了严谨而引入了大量符号，但实质不变。

理论保障

首先是「Consistency」的保证：

其次是「Error bounds」方面的保证：

根据上述「Error bounds」的结果，可以发现在选择黑盒模型时，「${\mathrm{C}}_{\hat{y},y}$ 最小奇异值」越大的模型越合适。

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Label-Shift 检测

在最开头的三大假设下，$q(y)=p(y)\iff p(\hat{y})=q(\hat{y})$，因此使用「two-sample tests」对 $p(\hat{y})=q(\hat{y})$ 进行检测即可。

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让模型适应新分布

计算出 $\hat{\mathbf{w}}$ 后，采用「importance weighted ERM」在源域数据集 $\mathcal{D}$ 上重新训练模型即可，具体训练目标如下：
$$\mathcal{L}=\sum _{i=1}^n{\hat{w}}_i\cdot \ell \left(y_i,{\mathbf{x}}_i\right)$$

整体算法如下：

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检测 Label-Shift 假设成立

采用「kernel two-sample tests」检测下述式子是否成立：
$${\mathbb{E}}_p[\mathbf{w}(y)k(\varphi (\mathbf{x}),\cdot )]={\mathbb{E}}_q[k(\varphi (\mathbf{x}),\cdot )]$$

即转化为下述 MMD 距离的计算：
$${\Vert \frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\left[\hat{\mathbf{w}}\left(y_i\right)k\left(\varphi \left({\mathbf{x}}_i\right),\cdot \right)\right]-\frac{1}{m}\sum _{j=1}^{m}k\left(\varphi \left({\mathbf{x}}_j^{\prime }\right),\cdot \right)\Vert }_{\mathcal{H}}^2$$

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参考资料

• [ICML18 - Zachary C. Lipton] Detecting and Correcting for Label Shift with Black Box Predictors