动力学模型的建立

在轨迹跟踪MPC中，我们需要先建立车辆的动力学模型。这里我们假设车辆的动力学模型为单轮模型，即车辆只有一个驱动轮，并忽略车辆的质量分布、车辆的空气阻力等因素，简化为一个二维平面模型。在这个模型中，车辆的状态可以表示为 $\theta, v]^T$ ，其中 $x$ 和 $y$ 分别表示车辆在平面坐标系中的位置， $\theta$ 表示车辆的航向角， $v$ 表示车辆的速度。
在这个模型中，车辆的运动可以由下列方程组表示：

$\begin{aligned} \dot x &= v \cos(\theta) \ \dot y &= v \sin(\theta) \ \dot \theta &= \frac{v}{L} \tan(\delta) \ \dot v &= a \end{aligned}$

其中， $\delta$ 表示车辆的转向角度， $a$ 表示车辆的加速度， $L$ 表示车辆的轴距。这个方程组可以理解为：车辆的位置和航向角随着速度的变化而变化，车辆的航向角随着转向角度的变化而变化，车辆的速度随着加速度的变化而变化。

MPC控制器的设计

MPC是一种模型预测控制方法，它通过预测未来一段时间内的状态和控制变量来求解最优的控制策略。在轨迹跟踪MPC中，我们需要根据车辆的动力学模型和目标轨迹来设计MPC控制器。
假设我们要让车辆沿着一条给定的轨迹运动，我们可以将目标轨迹表示为一系列坐标点 $p_i = [x_i, y_i]^T$ ，其中 $\cdots, N$ 。我们的目标是让车辆沿着这些点运动，并尽可能接近这些点。

在MPC控制器中，我们需要定义一个代价函数，用于衡量车辆距离目标轨迹的偏差。代价函数可以表示为下列形式：
$KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '\end' at position 9: y_{p_k} \̲e̲n̲d̲{bmatrix} \righ…$

其中 $x_k$ 和 $y_k$ 分别表示车辆在第 $k$ 个时间步的位置， $x_{p_k}$ 和 $y_{p_k}$ 分别表示车辆在第 $k$ 个时间步应该到达的目标点的位置。第一项代表车辆距离目标轨迹的偏差，第二项代表车辆的控制变量（转向角度和加速度）的变化程度。

我们的目标是求解一个最优的控制变量序列，使得代价函数最小。这个问题可以通过一个优化问题来求解：

$\begin{aligned} &\text{minimize } J \ &\text{subject to } x_{k+1} = f(x_k, \delta_k, a_k) \ &\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad k = 0, 1, \cdots, N-1 \end{aligned}$

其中 $f(x_k, \delta_k, a_k)$ 表示车辆在第 $k$ 个时间步的状态转移方程。这个方程可以根据车辆的动力学模型计算得到。我们的目标是求解最优的控制变量序列 ${\delta_0, a_0, \delta_1, a_1, \cdots, \delta_{N-1}, a_{N-1}}$ ，使得代价函数最小，并且满足车辆的动力学模型和约束条件。

MPC控制器的实现
MPC控制器的实现分为两个部分：预测和控制。在预测部分，我们需要计算出未来一段时间内的状态和控制变量序列。在控制部分，我们需要选择最优的控制变量，并将其应用到车辆上。
在预测部分，我们可以通过迭代的方式计算出未来的状态和控制变量。假设我们已知当前时刻的状态 $x_0$ ，我们可以首先计算出当前时刻到下一个时间步的控制变量序列 ${\delta_0, a_0}$ 。然后，我们可以使用车辆的动力学模型，从当前时刻开始模拟车辆的运动，并计算出未来 $N$ 个时间步的状态 $x_1, x_2, \cdots, x_{N}$ 和控制变量序列 ${\delta_1, a_1, \delta_2, a_2, \cdots, \delta_{N-1}, a_{N-1}}$ 。
在控制部分，我们需要选择最优的控制变量序列，并将其应用到车辆上。我们可以使用一个优化求解器，例如IPOPT或者Ipopt，来求解这个优化问题。在这个问题中，我们需要定义一个目标函数和一些约束条件。