相空间

相空间是一个用以表示出一系统所有可能状态的空间；系统每个可能的状态都有一相对应的相空间的点。

一个随时间演化的系统， 我们可以描述出它的运动轨迹, 以及它在运动轨迹上任一点的速度, 这样它的演化过程就被完全描述. 所以, 我们可以用它在每个时刻的位置和速度(动量)来描述它在任一时刻的状态。假定有一个在三维空间中运动的粒子, 它在任意一个时刻都有三个坐标 x , y, z以及三个动量 px, py, pz, 所以我们要描述这个单粒子在某一时刻的运动状态, 就需要6个分量. 按照惯例, 我们将位置坐标记为q, 动量坐标记为p, 这个pq空间就称作相空间. 显然这个相空间是一个六维的空间, 其中动量分量和坐标分量各占三维. 如果一个系统处在三维空间, 这个系统包含N个粒子, 那么我们为了在相空间中描述这个系统, 就需要一个6N维的相空间. 相空间中的每一个点就表示系统的一个状态。

 

一个例子：单摆的运动情况(图片来自Wikipedia)

性质

相空间中代表点的轨迹不相交

简单来说, 就是因为在经典力学一个系统的演化是确定的, 所以每一个时刻系统内任意一个粒子的位置和动量是确定的. 从物理上看, 如果在相空间中存在轨迹交叉的情况, 那么假设系统的初态在交叉点, 这样有可能存在两种演化轨迹, 这与演化的确定性相违背.

 

相空间重构

基本思想

系统由n个变量组成，其中任一分量的演化都是由与之相互作用的其他分量所决定的，因此nn个变量的信息就隐含在任一分量的发展过程中。当然这个说法并不是很准确，比如系统是不可观测的。 
为了重构一个等价的状态空间，只需考察一个分量，并将它在某些固定的时间延迟点上的测量作为新的维度，它可以将原系统的许多性质保存下来。

问题描述
对于一个非线性，通过观测，得到一组测量观测值{x(t),t=1,2,…,n}，由此可以构造一组mm维向量 
X(t)=[x(t),x(t−T),…,x(t−(m−1)×T)]
参数：T取样周期   m嵌入维数   X(t)相空间重构
 

塔肯斯定理(Takens theorem)：

计算嵌入相空间维数大小的一个基本命题.它是重构相空间技术的理论依据.混沌应用的一个重要问题就是从单个变量的时间序列重新构造一个可包容该混沌运动的m维相空间。 
对于维数n究竟应该取多大的问题， 1980 年，塔肯斯(Takens,F.)先后证明了所需维数m大小的嵌入定理，即Takens定理：

为了保证该相空间容纳该状态空间原来吸引子的拓扑特征，如果原来吸引子处在一个 d维空间中，那么，将该吸引子嵌入其中的相空间维数必须达到n=2d+1.例如由某时间序列重构相空间所求得的吸引子的维数为D=2. 51，亦即该吸引子处在d=3维的空间中，因此嵌人相空间的维数至少为n= [1]  2X3+1=7.

相空间的重构以及对应方法：https://blog.csdn.net/cainiaozr/article/details/48272955