现在有这样一道题。假设给你一分硬币，两分硬币，五分硬币共60枚。需要将它们兑换成100分的硬币，可以怎么换？

而我们可以列出如下关系式
假设x,y,z分别为一分，两分，五分硬币则:
x+y+z=60
x+2y+5z=100
对于这道题我们应该不太陌生，而我们最常见的应该是用三重循环来解决问题，又因为其为三重循环则需要三个未知数：
代码如下：

#include<stdio.h>
int main(void)
{int coin1,coin2,coin5;for(coin1=0;coin1<=60;coin1++)//一分硬币可以等于硬币总数最大值，不超过100分 for(coin2=0;coin2<=50;coin2++)//两分五分硬币数目最大不应超过钱数/其面额 for(coin5=0;coin5<=20;coin5++)//减少循环次数，降低其时间复杂度{if(coin1+coin2+coin5==60&&1*coin1+2*coin2+5*coin5==100)printf("一分硬币%d枚，两分硬币%d枚，五分硬币%d枚\n",coin1,coin2,coin5);} return 0;
} 

而这也是暴力解法，三重循环则会使其时间复杂度为O(n³)，我们应降低其循环次数
若用二重循环，则需要两个未知数，我们只需将以上关系式消去一个未知数，当然消去哪个都可以，(我消去的是x)在我们利用了加减消元法之后可以得到以下关系式：
y+4z=40
最后再利用x=60-y-z,得到x即可
代码如下：

#include<stdio.h>
int main(void)
{int coin1,coin2,coin5;for(coin2=0;coin2<=50;coin2++)for(coin5=0;coin5<=20;coin5++)//减少循环次数，降低其时间复杂度{if(coin2+4*coin5==40){coin1=60-coin2-coin5;printf("一分硬币%d枚，两分硬币%d枚，五分硬币%d枚\n",coin1,coin2,coin5);}} return 0;
} 

而最后的优化就是时间复杂度最低的一重循环了，所以我们应想办法将其变为一个未知数代替的关系式，而这需要我们找寻其隐含的条件。
我们可以将y,z变为关于x的关系式，即：
由y+4z=40,x+y+z=60得
z=1/3(x-20)
y=1/3(200-4x)
而且y,z必须大于等于0则有20<=x<=50
梳理完毕，代码如下：

#include<stdio.h>
int main(void)
{int coin1,coin2,coin5;for(coin1=20;coin1<=50;coin1++){coin5=(coin1-20)/3;coin2=(200-4*coin1)/3;if(coin1+coin2+coin5==60)printf("一分硬币%d枚，两分硬币%d枚，五分硬币%d枚\n",coin1,coin2,coin5);           }return 0;
} 

这就是换硬币循环的逐步优化了，总而言之就是几重循环需要几个未知数，最后只需寻找其潜在关系。这需要我们努力思考，fighting!