高频电路之LC串联选频电路

LC串联选频电路

一.缘由

高频电路实现的就是信号的无线传输功能。我们以语音信号传输来说，语音信号要实现传输，自然需要传输的介质，在此我们称之为传导，而传导和传播是不同的，根据互易定理可以知道他们的关系。这里我们不多说这个，因为不是很必要。
信号要传播，就总是需要发出去信号，而发信号和接收信号，很自然，是需要天线的。天线要多高呢，信号的波长是与天线尺寸相比拟的。根据下面这个公式可以计算天线的高度参考值：
波长与频率的关系
语音信号的频率范围是20Hz~20kHz，电信中的范围是300Hz-3.4kHz。如果我们按照频率最大值20kHz来计算的话，那么天线高度的参考值就是
天线高度计算
你说，谁会给家里栽一个15公里高的天线，这明显不可能。
但是光速的值是不变的，因此为了减少天线的高度，我们只能增大信号的频率了，这里也就涉及到了频率变换，变成啥样子？变大！
通常我们使用三角函数来表示信号，这里我们假设是余弦函数cos。数学中有这样的一个变换关系，叫积化和差：
积化和差公式
而我们需要的，就是cos(A+B)这个信号的频率A+B。只要他们设计的足够大，天线的长度自然会很小。但是后面的A-B确实不能说不要了，人家就不在了，因此需要选频电路，留下A+B，滤掉A-B。
而串联谐振电路就是选频电路中的比较简单也常用的一个。下来就说说这个电路的特性以及相关的推导。

二.LC串联选频电路

我们知道，电路比较复杂时，需要等效。

串联电路的等效，用戴维南定理；并联电路的等效，用诺顿定理。

如图，是我们要研究的对象电路：
LC串联电路

不好意思，忘了标了，图中的啥都没标的那个电阻即是电阻Rs。

根据基尔霍夫电压定律或者欧姆定律我们都可以求出电流i。注意i是小写，大写表示直流，小写表示交流。电路中的电阻有RL、Rs，还有电容和电感的阻抗，等效为虚拟电阻R。根据KVL，可以得：

对上式进行分析：
电流的模值等于
电流模值
自变量为角频率w，R为固定值，无论虚部的w是变无穷大还是变无穷小，电流i总是变小。当虚部为零时，分母最小，电流最大。此时的角频率计算如下：
角频率的·求解
此时电流有最大值：
电流最大值
与角频率相对应，可以计算频率的大小。为了方便记忆，将电路取最大值时的角频率w记为w0，频率记为f0，电流记为Im0:
参数计算

注意这里的w0的表达式哦，在下面的长段推导中会用到这个式子的变形。

在表征电路性能指标参数时，我们可参考下图中各项的参数来求：
电路参数

1.图中的fc和fH的中间就是f0，即电流最大值对应的频率值。
2.关于根号二分之一：
在无线电技术中，常把U/Um从根号二分之一下降到对应的两个频率的单位成为通频带，对应于-3dB。根二分之一等于0.707或0.7。

fc和fH表示的是选频滤波器的上下限频率，以此可以计算滤波器的带宽B。图中的电流最大值Im0在上面已经求出来了，下来就是要计算最大值的0.707倍时，带宽B的值。并对此进行拓展，计算Im/Im0为任意比时的带宽B的计算方法。为什么要计算带宽B呢？因为要设计滤波器，而选频的实质就是用滤波器选择想要的频率。下来就做具体的推导了！
t推导过程
推导到了这一步，把QL叫做品质因数。下来取近似：当w和w0很接近的时候，认为w约等于w0。在此基础上，有原式等于：

注：对上式的w和w0都除以2兀，便转化为了频率f。
而B=2(f-f0)，因此就可以化为带宽的求解了。

至此，令上式等于根二分之一，就可以解得:

B0.7指定的就是通频带带宽。0.7就是根二分之一。

并根据推导过程中的步骤，可以知道品质因数为：

以上的内容就是串连谐振电路的基本参数的求解。

可以看到，当串联电路谐振时，电路的电流有最大值，为什么呢，因为此时电感和电容的阻抗相互抵消了，为什么抵消了，你去看看w0是怎么计算出来的，就明白了。并且谐振时，电路中的R就是唯一的计算实际用到比较多的电阻了。但是R一般是肉眼看不到的，要得到R的值，一般要利用品质因数Q。所以Q的表达式也很重要了。
总之，只要明白了串联电路何时谐振，谐振后，电路会怎样，参数什么的都会有什么变化，就差不多没问题了。

这些参数都是设计选频电路时的重要指标。不过大多数人看到这篇文章的，应该更多的是怎么用它来做题吧，所以就拿个题来说下。