卷积与边缘提取

边缘：图像中亮度明显而急剧变化的点

为什么要研究边缘？

• 编码图像中的语义与形状信息。
• 相对于像素表示边缘显然更加紧凑。

边缘的种类

图中展示了视觉边缘的几种类型，分别是：

1. 表面法向不连续：这种边缘通常出现在物体表面方向发生突然变化的地方，例如瓶子的侧面与顶部的交界处。
2. 深度不连续：这种边缘表示物体在深度方向上的突然变化，例如一个物体在另一个物体前面或后面。
3. 表面颜色不连续：这种边缘出现在物体表面颜色发生突然变化的地方，例如瓶子上不同颜色的标签或图案。
4. 光照不连续：这种边缘是由于光照条件的突然变化导致的，例如光线在物体表面的反射或阴影的边缘。

这些视觉边缘类型在计算机视觉和图像处理中非常重要，用于识别和分析图像中的物体及其结构。

边缘检测

图像求导

二维函数(f(x,y))的偏导数的定义式：

[$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}={\lim }_{\epsilon \to 0}\frac{f(x+\epsilon ,y)-f(x,y)}{\epsilon }$]

解析

1. 偏导数的定义
   • 对于一个多元函数（这里是二维函数($f(x,y)$)），偏导数表示函数在某一点沿着某一坐标轴方向的变化率。
   • 对于($x$)方向的偏导数($\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$)，它衡量了函数($f(x,y)$)在($x$)轴方向上的变化情况，而($y$)被视为常数。
2. 极限的意义
   • 偏导数的定义中使用了极限。这里的($\epsilon$)是一个趋近于0的变量。
   • 当($\epsilon$)趋近于0时，($\frac{f(x+\epsilon ,y)-f(x,y)}{\epsilon }$)表示函数在($x$)方向上的平均变化率。极限(${\lim }_{\epsilon \to 0}$)则表示当这个平均变化率在($\epsilon$)无限趋近于0时的精确变化率，即偏导数。
3. 几何意义
   • 在二维平面上，($\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$)可以理解为函数($f(x,y)$)在($x$)方向上的斜率。
   • 例如，如果($f(x,y)$)表示一个曲面，那么($\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$)在某一点的值就是该点处曲面在($x$)方向上的切线斜率。

示例

假设($f(x,y)=x^2+y^2$)，求($\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$)：

1. 根据定义，($\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}={\lim }_{\epsilon \to 0}\frac{f(x+\epsilon ,y)-f(x,y)}{\epsilon }$)。
2. 代入($f(x,y)=x^2+y^2$)：
   • ($f(x+\epsilon ,y)=(x+\epsilon {)}^2+y^2=x^2+2x\epsilon +{\epsilon }^2+y^2$)。
   • ($f(x,y)=x^2+y^2$)。
3. 计算差值：
   • ($f(x+\epsilon ,y)-f(x,y)=(x^2+2x\epsilon +{\epsilon }^2+y^2)-(x^2+y^2)=2x\epsilon +{\epsilon }^2$)。
4. 除以($\epsilon$)：
   • ($\frac{f(x+\epsilon ,y)-f(x,y)}{\epsilon }=\frac{2x\epsilon +{\epsilon }^2}{\epsilon }=2x+\epsilon$)。
5. 取极限：
   • (${\lim }_{\epsilon \to 0}(2x+\epsilon )=2x$)。

所以，对于($f(x,y)=x^2+y^2$)，($\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=2x$)。

图像求导公式：

[$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\approx \frac{f(x+1,y)-f(x,y)}{1}$]

解析

1. 公式含义
   • 这个公式是一个近似计算图像在 ($x$) 方向上的偏导数的方法。
   • 这里的 ($f(x,y)$) 表示图像在坐标 ($(x,y)$) 处的像素值。
   • 公式中的 ($\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$) 表示图像在 ($x$) 方向上的偏导数，即在 ($x$) 方向上像素值的变化率。
   • 公式右侧的 ($\frac{f(x+1,y)-f(x,y)}{1}$) 是一个差分运算，用来近似计算偏导数。具体来说，它计算了在 ($x$) 方向上相邻两个像素（($x$) 和 ($x+1$)）的像素值之差。
2. 近似原理
   • 在连续函数中，导数是通过极限定义的，即 ($\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}={\lim }_{\epsilon \to 0}\frac{f(x+\epsilon ,y)-f(x,y)}{\epsilon }$)。
   • 在离散的图像数据中，我们无法取极限，因此采用一个较小的增量（这里是 ($1$)）来近似计算导数。这种方法称为差分近似。
3. 应用场景
   • 这种图像求导公式在图像处理中非常常见，例如在边缘检测、图像锐化等操作中。
   • 通过计算图像的偏导数，可以找到图像中像素值变化剧烈的地方，这些地方通常对应于图像的边缘。

总结

这个公式提供了一种简单有效的方法来近似计算图像在 (x) 方向上的偏导数，通过相邻像素值的差来估计像素值的变化率，常用于图像处理中的各种操作。

使用卷积核进行求导：

图像梯度

图像的梯度就是图像两个方向导数组成的向量。梯度指向灰度变换最快的方向。

噪声的影响

如图所示。直接对函数fx求导。得到的求导结果会很混乱。解决方法就是先平滑。

经过三次卷积之后得到最终的求导结果。因为卷积有交换和结合律。可以交换卷积顺序来减少运算量。

高斯一阶偏导核进行边缘提取首先做了平滑，后做了去噪。

调整高斯一阶偏导核的方差大小，可以关注图像中不同的目标特征。方差越小特征越细腻，反之则反。

高斯核

• 消除高频成分（低通滤波器）
• 卷积核中的权值不可为负数
• 权值总和为（恒定区域不受卷积影响）

高斯一阶偏导核

• 高斯的导数
• 卷积核中的权值可以为负
• 权值总和是0 (恒定区域无响应）
• 高对比度点的响应值大

边缘检测目标

经过高斯一阶偏导核卷积后的到如下图片

非极大值抑制

此像素与梯度方向上前后像素进行对比，此像素比前后像素任何一个像素的梯度强度小就删掉此像素点，这种方式就是非极大值抑制方式。这样就保留了梯度最强的一个点。

在处理的过程中，肯定会存在噪声，会设一个门限过滤一些噪点。如图所示，门限设的过高或过低都会影响最终的目标。采用采用双阈值的方式来解决这个问题。
先用高阈值，将梯度比较大的边缘留下来，然后用低阈值找出边缘，保留与高阈值边缘有连接关系的低阈值边缘。最终得到想要的目标图像。

总结

1．_用高斯一阶偏导核卷积图像
2. 计算每个点的梯度幅值和方向
3.非极大值抑制：

• 将宽的“边缘”细化至单个像素宽度

4.连接与國值（滞后）：

• 定义两个阈值：低和高
• 使用高阈值开始边缘曲线,使用低阀值继续边缘曲线