一.引言
本文将对NTL开源库进行分析与学习。
NTL:是一个高性能、可移植的C++库，为任意长度的整数提供数据结构和算法；用于整数和有限域上的向量、矩阵和多项式；以及任意精度的浮点运算。
NTL 为以下领域提供最先进且高质量的算法实现：
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任意长度整数运算和任意精度浮点运算；
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整数和有限域上的多项式算术，包括基本算术、多项式分解、不可约判定、最小多项式计算、迹线、范数等计算；
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格基归约，包括 非常健壮和快速的Schnorr-Euchner,实现、块 Korkin-Zolotarev 归约，以及块 Korkin-Zolotarev 的新 Schnorr-Horner 剪枝启发式；
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整数、有限域和任意精度浮点数的基本线性代数。
NTL同时具备Unix、Mac OS或Windows任意平台上使用，NTL可与GMP一起构建以增强性能，NTL可与gf2x库一起构建，以便在GF(2)上快速计算大型多项式。NTL具有优秀的二次开发接口可快速实现新的数论算法。近年来，众多隐私计算、安全多方计算的开源库采用了该数论库，因此，小海Cryptography决定对NTL开源库进行深入学习与了解。
参考文献：
NTL官网：https://libntl.org
CSDN博主：https://blog.csdn.net/m0_62048010?type=blog (博主：回首，阑珊)
https://blog.csdn.net/lichenyangok?type=blog (博主：元解~殇怀)
二.NTL库的安装与使用
2.1GMP库安装
GMP：开源数学运算库，简单来说GMP是一个用于长整数运算的库。对于基本运算(例如整数乘法)，它比NTL的长整数快2-3倍。因此NTL库默认使用GMP库。所以安装NTL库之前首先安装GMP库。
#下载GMP库wget https://gmplib.org/download/gmp/gmp-6.1.2.tar.bz2#解压tar -jxvf gmp-6.1.2.tar.bz2mv gmp-6.1.2 gmprm gmp-6.1.2.tar.bz2cd gmp#配置源码 --prefix指定安装路径 $PWD指当前路径./configure --prefix=$PWD#编译makemake check#安装make installcd ..
安装成功界面：
2.2GF2X库安装
gf2x是一个用于在GF(2)上进行多项式快速乘法的库.与仅实现 Karatsuba 乘法版本的 NTL 不同，gf2x还实现了其他算法，这些算法对于非常大的阶多项式来说更快。
#下载GF2X库wget https://gitlab.inria.fr/gf2x/gf2x/uploads/46a3851a4aa6888e6a6a7ce3de33f0f4/gf2x-1.2.tar.gz#解压tar -zxvf gf2x-1.2.tar.gzmv gf2x-1.2 gf2xrm gf2x-1.2.tar.gzcd gf2x#配置./configure --prefix=$PWD ABI=64 CFLAGS="-m64 -O2"#安装makemake checkmake installcd ..
2.3NTL库安装
#下载NTL库wget http://www.shoup.net/ntl/ntl-10.4.0.tar.gz#解压tar -zxvf ntl-10.4.0.tar.gzmv ntl-10.4.0 ntlrm ntl-10.4.0.tar.gzcp ./ntl_patch/* ./ntl/include/NTL/linux=$(pwd)cd ntl/src#安装./configure PREFIX=$linux/gmp GMP_PREFIX=$linux/gmp NTL_THREAD_BOOST=on NTL_FFT_LAZYMUL=on NTL_FFT_BIGTAB=on NTL_GF2X_LIB=on GF2X_PREFIX=$linux/gf2xmake -j20mv ./ntl.a ./libntl.a
三.NTL库的基本环类
对于一个大数运算库，NTL开源库需要解决任意整数、任意单精度实数的表示、基于环和有限域上的向量、矩阵、多项式的数据结构以及各种算术运算的实现。NTL开源库中的基本环类主要有以下：
| ZZ :大整数(基本数据类型无法存储其精度的整数) |
|---|
| ZZ_p:模P的大整数 |
| zz_p:模单精度p的整数 |
| GF2:模2整数 |
| ZZX:具有ZZ系数的单变量多项式 |
| ZZ_pX:具有ZZ_p系数的单变量多项式 |
| zz-pX:具有zz_p系数的单变量多项式 |
| GF2X:具有GF2系数的多项式 |
| ZZ_pE:ZZ_p上的环/域扩张 |
| zz_pE:zz_p上的环/域扩张 |
| GF2E:GF2上的环/域扩张 |
| ZZ_pEX:具有ZZ_pE系数的单变量多项式 |
| zz_pEX:具有zz_pE系数的单变量多项式 |
| GF2EX:具有GF2E系数的单变量多项式 |
上述涉及环、整环、域、域扩张、基于域的多项式，本文给出基础定义，对于后续涉及的数论知识将逐一补充和代码分析。
1.环
设R是一个非空集合，R包含加法+、乘法·运算，如果满足：
(1)(R,+)构成交换群
(2)(R,·)构成幺半群
(3)(R,+,·)满足分配律
则R被称为一个环。
2.整环
对于环R,有乘法交换并且无零因子，则称该环为整环。(无零因子交换幺环)
3.域
域:全体元素的加法集合以及非零元素的乘法集合构成。
有限域：有限个元素的域
素数域：模P的P为素数
4.多项式域
多项式的系数限定于域中的元素，并且基于域的运算规则重新定义多项式的加减乘除操作。
5.域扩张
如果域K的一个子环F是一个域，则称F是K的子域，K为F上的域扩张。
