【动态规划】

动态规划1

- 引言
- 题目
- - 509. 斐波那契数
  - 70. 爬楼梯
  - 746. 使用最小花费爬楼梯
- 小结
- - 53. 最大子数组和
- 结语

引言

蓝桥杯快开始了啊，自从报名后还没认真学过算法有`(>﹏<)′，临时抱一下佛脚，一起学学算法。

题目

509. 斐波那契数

斐波那契数（通常用 F(n) 表示）形成的序列称为斐波那契数列。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1
给定 n ，请计算 F(n) 。

链接: link
相信这题大家都能闭着眼睛都能写出来了。
这是一个最基础的递推题目
递推公式为**F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)**

1.定义一个数组arr[n+1], 用来记录n位置的斐波那契数值
2.定义一个循环变量i 然后进行循环F(i) = F(i - 1) + F(i - 2)
3.返回arr[n]

代码：

int fib(int n){if(n<=1){return n;}else{int arr[n+1];arr[0]=0;arr[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){arr[i]=arr[i-1]+arr[i-2];}return arr[n];}
}

70. 爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：

输入：n = 2 输出：2 解释：有两种方法可以爬到楼顶。

1 阶 + 1 阶
2 阶

链接: 爬楼梯

这道题就是斐波那契数列的简单应用，只是在斐波那契数列是套了一层外套

1.当你在n阶楼梯时
2.只能由n-1阶时走一步或者在n-2阶时走两步
3.所以爬到n阶的方法总数等于爬n-1阶时的方法数加上爬到n-2阶的方法数

也就是F(n)=F(n-1)+F(n-2)（状态转移方程）

代码：

int climbStairs(int n){int arr[46]={1,1};for(int i=2;i<=n;i++){arr[i]=arr[i-1]+arr[i-2];}return arr[n];
}

746. 使用最小花费爬楼梯

给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

示例 1：

输入：cost = [10,15,20]
输出：15
解释：你将从下标为 1 的台阶开始。

支付 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。总花费为 15 。

示例 2：

输入：cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]
输出：6
解释：你将从下标为 0 的台阶开始。

支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 2 的台阶。
支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 4 的台阶。
支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 6 的台阶。
支付 1 ，向上爬一个台阶，到达下标为 7 的台阶。
支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 9 的台阶。
支付 1 ，向上爬一个台阶，到达楼梯顶部。总花费为 6 。

提示：

2 <= cost.length <= 1000
0 <= cost[i] <= 999

链接: 使用最小花费爬楼梯

这题和之前的爬楼梯很相似，只是从求方案数到求最小值。
求解思路：

当你在 n 阶楼梯时
只能由 n-1 阶时走一步或者在 n-2 阶时走两步
当选择走 n-1 其花费也是走到 n-1 步时的最小花费加上走这一步的花费
n-2 其花费也是走到 n-2 步时的最小花费加上走这一步的花费
arr[n]值就是两者之间的最小值

定义一个数组arr[1001],用来存储走到n阶楼梯时的最小花费

我们可以得出状态转移方程为

arr[i]=min(arr[i-1]+cost[i-1],arr[i-2]+cost[i-2])

代码：

 int min(int a,int b)
{if(a>b)return b;return a;
}int minCostClimbingStairs(int* cost, int costSize){int arr[1001]={0,0};for(int i=2;i<=costSize;i++){arr[i]=min(arr[i-1]+cost[i-1],arr[i-2]+cost[i-2]); }return arr[costSize];
}

小结

从上述三题可以看出动态规划的大致流程

1.设计状态
2.写出状态转移方程
3.设定初始状态
4.执行状态转移
5.返回最终的解

接下来我们在看一个题

53. 最大子数组和

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

子数组是数组中的一个连续部分。

示例 1：

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

示例 2：

输入：nums = [1]
输出：1

题解：
定义一个dp[100001]数组，用于储存以nums[n]为结尾的子数组的和的最大值。

然后根据题意可知，dp[n]的值有两种情况：
第一种：

当dp[n-1]<=0时，
表示的是以nums[n-1]结尾的所有子数组的最大值小于0，
此时dp[n]的值应该是arr[n]的值，因为一个数加上一个小于0的数总比原数小。

第二种：

当dp[n-1]>0时，
dp[n]的值应该取dp[n-1]和dp[n-1]+nums[n]这两数中的最大值

可得状态转移方程为dp[n]=max(dp[n-1]+nums[n],nums[n])
设置初始状态 dp[0]=arr[0]

代码：

int max(int i,int j)
{if(i>j)return i;return j;
}int maxSubArray(int* nums, int numsSize){int dp[100001]={};dp[0]=nums[0];int maxval=nums[0];for(int n=1;n<numsSize;n++){dp[n]=max(dp[n-1]+nums[n],nums[n]);maxval=max(maxval,dp[n]);}return maxval;
}