图论 (Java) 从入门到入土 /第一部分 图的基础-图的表示/

news/2024/11/7 12:41:40/

零.前言

        图,是一种比较复杂的数据结构。和树的一个节点只和上层一个节点相连不同,在图中,任意两个节点都可能相连,且可能具有方向性,并且节点的边具有权重,因此,图被用于描述各种复杂的数据对象,在自然科学、社会科学和人文科学等诸多领域有着非常广泛的应用。

        图论中一些经典的需要解决的问题有:图的遍历、图的连通性、图的判圈(环路检测)、最短路径、拓扑排序、最小生成树、网络流、二部图等。

        图论中一些经典的需要掌握的算法有:DFS、BFS、并查集、Dijkstra、Floyd、Prim、Kruskal等,需要了解并掌握,都是经常使用的算法。        

        本文章的系列分为三个大的部分,包括图论基础,图的算法以及图的典型题目,此大部分是图的基础,包括图的整体定义,图的相关定义和图的表示。  

        本文是有关于图的表示,主要是邻接表,邻接矩阵和链式前向星。

一.图的基础

1.图的整体定义

2.图的相关定义 

        以上部分可参考前文,前文连接:

图论 (Java) 从入门到入土 /第一部分 图的基础-图的定义/

3. 图的表示(图的存储) 

        作为一种结构复杂的数据结构,图的具体表示千差万别,我们需要以合适的、统一的、标准的方式来存储图。

        从图的定义来看,最为重要的信息莫过于图的边及其顶点的信息,那么无论采用什么方式,最重要的就是描述顶点与其边的联系。

        常用的存储图的方式主要包括邻接矩阵、邻接表和链式前向星,接下来主要介绍者三种方法,并且给出具体案例。

(1). 邻接矩阵

邻接矩阵

        对于图中的顶点,任意两个顶点之间是否有邻接关系,即是否有边直接相连。上案例,下左图为一张典型的无向(双向)无权图,那么它的邻接矩阵为右下图所示。

 对于矩阵中得元素,其值为:

a_{i,j}=\left\{\begin{matrix} 1,& v_{i}v_{j} connected & \\ 0,& v_{i}v_{j} unconnected & \end{matrix}\right.

比较通俗的语言就是,两边相连,那就是1,不是直接相连,那就是0。

那么,对于有权那就是把1替换成其他的值。

对于有向图,那么就表示为a_{i,j}\neq a_{j,i} 。

也可以使用-1,或者无穷等来表示不存在或者不相连接,取决于具体的应用。 

显然,当图较稀疏时,大量空间将被浪费,利用邻接表存图效率更高。

邻接矩阵所需的空间为O(n^{^{2}})

无向图邻接矩阵的对称性

        对于上方无向无权图的邻接矩阵,那么它具有对称性,即以y=-x对称,那么在存储的时候,可以只存储上三角或者下三角即可。

 

(2). 邻接表

邻接表

        邻接矩阵是图的顺序存储方法,邻接矩阵是图的顺序存储和链式存储相结合的方法,将每一个节点(顶点)的所有用边相连的节点链接起来,构成一个集合。

邻接表的所需的空间为O(n+e),其中n为顶点个数,e为顶点存储边(相邻节点)的个数。

(3). 链式前向星

        相比前两种存图法,链式向前星存图法是一种极具技巧性的存图方式,虽不太直观,但有不少优点,链式向前星的 本质也是邻接表 ,与邻接表法的显式邻接表 不同,链式向前星并不显式地存储与顶点对应的邻接表,而是将边编号,通过 边下标指针 来获取一个顶点的邻边信息Ref.[3]。

优点为:

        (1) 空间复杂度为 O(∣V∣+∣E∣) 。且相比利用泛型线性表的邻接表法,空间开销会更小,因为 List 的内部数组通常比实际大小更大。
        (2) 由于存粹以数组存图,因此处理速度也会比 List 更快。
        (3) 由于对边编号,在某些需要处理一条边的反向边的场景下 (例如最大流算法中),可以很方便地操作反向边 (具体看「小结」)。

参考来源 Ref.

[1] 数据结构与算法(JAVA语言版)Adam Drozdek

[2] 数据结构与算法(JAVA版)罗文劼,王苗,张小莉

[3] leetcode yukiyama 图论算法从入门到放下 


http://www.ppmy.cn/news/296321.html

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