图是一种比线性表和树更复杂的数据结构，在图中，结点之间的关系是任意的，任意两个数据元素之间都可能相关。图是一种多对多的数据结构。

一、基本概念

图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G（V，E），其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。

注意：线性表中可以没有元素，称为空表。树中可以没有结点，叫做空树。但是在图中不允许没有顶点，可以没有边。

基本术语：

• 无向边：若顶点Vi和Vj之间的边没有方向，称这条边为无向边（Edge），用（Vi，Vj）来表示。

• 无向图（Undirected graphs）：图中任意两个顶点的边都是无向边。

• 有向边：若从顶点Vi到Vj的边有方向，称这条边为有向边，也称为弧（Arc），用<Vi, Vj>来表示，其中Vi称为弧尾（Tail），Vj称为弧头（Head）。

• 有向图（Directed graphs）：图中任意两个顶点的边都是有向边。

• 简单图：不存在自环（顶点到其自身的边）和重边（完全相同的边）的图

• 无向完全图：无向图中，任意两个顶点之间都存在边。

• 有向完全图：有向图中，任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧。

• 稀疏图；有很少条边或弧的图称为稀疏图，反之称为稠密图。

• 权（Weight）：表示从图中一个顶点到另一个顶点的距离或耗费。

• 网：带有权重的图

• 度：与特定顶点相连接的边数；

• 出度、入度：有向图中的概念，出度表示以此顶点为起点的边的数目，入度表示以此顶点为终点的边的数目；

• 环：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径；

• 简单环：除去第一个顶点和最后一个顶点后没有重复顶点的环；

• 连通图：任意两个顶点都相互连通的图；

• 极大连通子图：包含竟可能多的顶点（必须是连通的），即找不到另外一个顶点，使得此顶点能够连接到此极大连通子图的任意一个顶点；

• 连通分量：极大连通子图的数量；

• 强连通图：此为有向图的概念，表示任意两个顶点a，b，使得a能够连接到b，b也能连接到a 的图；

• 生成树：n个顶点，n-1条边，并且保证n个顶点相互连通（不存在环）；

• 最小生成树：此生成树的边的权重之和是所有生成树中最小的；

• AOV网（Activity On Vertex Network ）：在有向图中若以顶点表示活动，有向边表示活动之间的先后关系

• AOE网（Activity On Edge Network）：在带权有向图中若以顶点表示事件，有向边表示活动，边上的权值表示该活动持续的时间

二、图的存储结构

由于图的结构比较复杂，任意两个顶点之间都可能存在关系，因此用简单的顺序存储来表示图是不可能，而若使用多重链表的方式（即一个数据域多个指针域的结点来表示），这将会出现严重的空间浪费或操作不便。这里总结一下常用的表示图的方法：

1、邻接矩阵

图的邻接矩阵（Adjacency Matrix）存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（称邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息。

无向图由于边不区分方向，所以其邻接矩阵是一个对称矩阵。邻接矩阵中的0表示边不存在，主对角线全为0表示图中不存在自环。

带权有向图的邻接矩阵:

在带权有向图的邻接矩阵中，数字表示权值weight，「无穷」表示弧不存在。由于权值可能为0，所以不能像在无向图的邻接矩阵中那样使用0来表示弧不存在。

代码：

/*** 有向图的邻接矩阵实现*/
public class Digraph {private int vertexsNum;private int edgesNum;private int[][] arc;public Digraph(int[][] data, int vertexsNum) {this.vertexsNum = vertexsNum;this.edgesNum = data.length;arc = new int[vertexsNum][vertexsNum];for (int i = 0; i < vertexsNum; i++) {for (int j = 0; j < vertexsNum; j++) {arc[i][j] = Integer.MAX_VALUE;}}for (int i = 0; i < data.length; i++) {int tail = data[i][0];int head = data[i][1];arc[tail][head] = 1;}}//用于测试，返回一个顶点的邻接点public Iterable<Integer> adj(int vertex) {Set<Integer> set = new HashSet<>();for (int i = 0; i < vertexsNum; i++) {if (arc[vertex][i] != Integer.MAX_VALUE)set.add(i);}return set;}public static void main(String[] args) {int[][] data = {{0,3},{1,0},{1,2},{2,0},{2,1},};Digraph wd = new Digraph(data,4);for(int i :wd.adj(1)) {System.out.println(i);}   }
}

优缺点：

• 优点：结构简单,操作方便
• 缺点：对于稀疏图，这种实现方式将浪费大量的空间。

2、邻接表

邻接表是一种将数组与链表相结合的存储方法。其具体实现为：将图中顶点用一个一维数组存储，每个顶点Vi的所有邻接点用一个单链表来存储。这种方式和树结构中孩子表示法一样。

对于有向图其邻接表结构如下:

有向图的邻接表是以顶点为弧尾来存储边表的，这样很容易求一个顶点的出度（顶点对应单链表的长度），但若求一个顶点的入度，则需遍历整个图才行。这时可以建立一个有向图的逆邻接表即对每个顶点v都建立一个弧头尾v的单链表。如上图所示。

代码：

/*** 有向图的邻接表实现**/
public class AdjListDigraph {private class EdgeNode {int index;EdgeNode next;EdgeNode(int index, EdgeNode next){this.index = index;this.next = next;}}private class VertexNode {int id;EdgeNode headNode;}private VertexNode[] vertexs;private int vertexsNum;private int edgesNum;public AdjListDigraph(int[][] data, int vertexsNum) {this.vertexsNum = vertexsNum;this.edgesNum = data.length;vertexs = new VertexNode[vertexsNum];for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {vertexs[i] = new VertexNode();vertexs[i].id = i;        //}for (int i = 0; i < data.length; i++) {int index = data[i][1];EdgeNode next = vertexs[data[i][0]].headNode;EdgeNode eNode = new EdgeNode(index,next);vertexs[data[i][0]].headNode = eNode; //头插法}}//用于测试，返回一个顶点的邻接点public Iterable<Integer> adj(int index) {Set<Integer> set = new HashSet<>();EdgeNode current = vertexs[index].headNode;while(current != null) {VertexNode node = vertexs[current.index];set.add(node.id);current = current.next;}return set;}public static void main(String[] args) {int[][] data = {{0,3},{1,0},{1,2},{2,0},{2,1},};AdjListDigraph ald = new AdjListDigraph(data,4);for(int i :ald.adj(1)) {System.out.println(i);}   }
}

本算法的时间复杂度为 O(N + E)，其中N、E分别为顶点数和边数，邻接表实现比较适合表示稀疏图。

3、十字链表

十字链表（Orthogonal List)是将邻接表和逆邻接表相结合的存储方法，它解决了邻接表（或逆邻接表）的缺陷，即求入度（或出度）时必须遍历整个图。

十字链表的结构如下：

图中：

• firstIn表示入边表（即是逆邻接表中的单链表）头指针，firstOut表示出边表（即是邻接表中的单链表）头指针，data表示顶点数据。
• tailVex表示边的起点在顶点数组中的下标，tailNext值出边表指针域，指向起点相同的下一条边。
• headVex表示边的终点在顶点数组中的下标，headNext指入边表指针域，指向终点相同的下一条边。

代码实现：

/*** 有向图的十字链表实现**/
public class OrthogonalList {private class EdgeNode {int tailVex;int headVex;EdgeNode headNext;EdgeNode tailNext;public EdgeNode(int tailVex, int headVex, EdgeNode headNext, EdgeNode tailNext) {super();this.tailVex = tailVex;this.headVex = headVex;this.headNext = headNext;this.tailNext = tailNext;}}private class VertexNode {int data;EdgeNode firstIn;EdgeNode firstOut;}private VertexNode[] vertexs;private int vertexsNum;private int edgesNum;public OrthogonalList(int[][] data, int vertexsNum) {this.vertexsNum = vertexsNum;this.edgesNum = data.length;vertexs = new VertexNode[vertexsNum];for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {vertexs[i] = new VertexNode();vertexs[i].data = i;        //}//关键for (int i = 0; i < data.length; i++) {int tail = data[i][0];int head = data[i][1];EdgeNode out = vertexs[tail].firstOut;EdgeNode in = vertexs[head].firstIn;EdgeNode eNode = new EdgeNode(tail,head,in,out);vertexs[tail].firstOut = eNode;vertexs[head].firstIn = eNode;}}//返回一个顶点的出度public int outDegree(int index) {int result = 0;EdgeNode current = vertexs[index].firstOut;while(current != null) {current = current.tailNext;result++;}return result;}//返回一个顶点的入度public int inDegree(int index) {int result = 0;EdgeNode current = vertexs[index].firstIn;while(current != null) {current = current.headNext;result++;}return result;}public static void main(String[] args) {int[][] data = {{0,3},{1,0},{1,2},{2,0},{2,1},};OrthogonalList orth = new OrthogonalList(data,4);System.out.println("顶点1的出度为" + orth.outDegree(1));System.out.println("顶点1的入度为" + orth.inDegree(1));}
}

十字链表创建图算法的时间复杂度和邻接表相同都为O(N + E)。在有图的应用中推荐使用。

三、图的遍历

从图的某个顶点出发，遍历图中其余顶点，且使每个顶点仅被访问一次，这个过程叫做图的遍历（Traversing Graph）。对于图的遍历通常有两种方法：深度优先遍历和广度优先遍历。

1、深度优先遍历

深度优先遍历（Depth First Search，简称DFS），也成为深度优先搜索。

遍历思想：基本思想：首先从图中某个顶点v0出发，访问此顶点，然后依次从v相邻的顶点出发深度优先遍历，直至图中所有与v路径相通的顶点都被访问了；若此时尚有顶点未被访问，则从中选一个顶点作为起始点，重复上述过程，直到所有的顶点都被访问。

深度优先遍历用递归实现比较简单，只需用一个递归方法来遍历所有顶点，在访问某一个顶点时：

• 将它标为已访问
• 递归的访问它的所有未被标记过的邻接点

深度优先遍历的过程：

代码如下：

public class DFSTraverse {private boolean[] visited;//从顶点index开始遍历public DFSTraverse(Digraph graph, int index) {visited = new boolean[graph.getVertexsNum()];dfs(graph,index);}private void dfs(Digraph graph, int index) {visited[index] = true;for(int i : graph.adj(index)) {if(!visited[i])dfs(graph,i);   }}
}

2、广度优先遍历

广度优先遍历（Breadth First Search，简称BFS），又称为广度优先搜索

遍历思想：首先，从图的某个顶点v0出发，访问了v0之后，依次访问与v0相邻的未被访问的顶点，然后分别从这些顶点出发，广度优先遍历，直至所有的顶点都被访问完。

广度优先遍历的过程：

代码：

public class BFSTraverse {private boolean[] visited;public BFSTraverse(AdjListDigraph graph, int index) {visited = new boolean[graph.getVertexsNum()];bfs(graph,index);}private void bfs(AdjListDigraph graph, int index) {//在JSE中LinkedList实现了Queue接口Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();visited[index] = true;queue.add(index);while(!queue.isEmpty()) {int vertex = queue.poll();for(int i : graph.adj(vertex)) {if(!visited[i]) {visited[i] = true;queue.offer(i);}}}}
}

四、最小生成树

图的生成树是它的一棵含有所有顶点的无环连通子图。一棵加权图的最小生成树（MST）是它的一棵权值（所有边的权值之和）最小的生成树。

计算最小生成树可能遇到的情况：

• 非连通的无向图，不存在最小生成树
• 权重不一定和距离成正比
• 权重可能是0或负数
• 若存在相等的权重，那么最小生成树可能不唯一

图的切分是将图的所有顶点分为两个非空且不重叠的两个集合。横切边是一条连接两个属于不同集合的顶点的边。

切分定理：在一幅加权图中，给定任意的切分，它的横切边中的权重最小者必然属于图的最小生成树。

切分定理是解决最小生成树问题的所有算法的基础。这些算法都是贪心算法。

首先先构造一个带权的无向图，其代码如下：

//定义边
public class Edge implements Comparable<Edge>{private final int ver1;private final int ver2;private final Integer weight;public Edge(int ver1, int ver2, int weight) {super();this.ver1 = ver1;this.ver2 = ver2;this.weight = weight;}//返回一个顶点public int either() {return ver1;}//返回另一个顶点public int other(int vertex) {if (vertex == ver1)return ver2;else if(vertex == ver2)return ver1;else throw new RuntimeException("边不一致");}@Overridepublic int compareTo(Edge e) {return this.weight.compareTo(e.weight);}public Integer getWeight() {return weight;}@Overridepublic String toString() {return "Edge [" + ver1 + "," + ver2 +"]";}
}/*** 带权无向图的实现*/
public class WeightedGraph {private final int vertexsNum;private final int edgesNum;private List<Edge>[] adj;public WeightedGraph(int[][] data, int vertexsNum) {this.vertexsNum = vertexsNum;this.edgesNum = data.length;adj  = (List<Edge>[]) new ArrayList[vertexsNum];for(int i=0; i<vertexsNum; i++) {adj[i] = new ArrayList<>();}for (int i = 0; i < data.length; i++) {Edge edge = new Edge(data[i][0],data[i][1],data[i][2]);int v = edge.either();adj[v].add(edge);adj[edge.other(v)].add(edge);}}public Iterable<Edge> adj(int vertex) {return adj[vertex];}public int getVertexsNum() {return vertexsNum;}public int getEdgesNum() {return edgesNum;}public Iterable<Edge> getEdges() {List<Edge> edges = new ArrayList<>();for(int i=0; i<vertexsNum; i++) {for(Edge e : adj[i]) {if(i > e.other(i)) { //无向图，防止将一条边加入两次edges.add(e);}}}return edges;}
}

1、Prim算法

每次将权值最小的横切边加入生成树中

1)、Prim算法的延迟实现

实现过程如下图：

从顶点0开始，首先将顶点0加入到树中（标记），顶点0和其它点的横切边（这里即为顶点0的邻接边）加入优先队列，将权值最小的横切边出队，加入生成树中。此时相当于也向树中添加了一个顶点2，接着将集合（顶点1，2组成）和另一个集合（除1,2的顶点组成）间的横切边加入到优先队列中，如此这般，直到队列为空。

注意：若横切边中另一个顶点在树中，则此边失效。

代码如下：

public class LazyPrimMST {private boolean[] visited; //标记顶点private LinkedQueue<Edge> mst; //存储最小生成树的边private MinPQ<Edge> pq; //优先队列，权值越最小优先级越高public LazyPrimMST(WeightedGraph wg) {visited = new boolean[wg.getVertexsNum()];mst = new LinkedQueue<Edge>();pq = new MinPQ<>(wg.getVertexsNum());visit(wg, 0); //从0点开始while(!pq.isEmpty()) {Edge e = pq.deQueue();int ver1 = e.either();int ver2 = e.other(ver1);if(visited[ver1] && visited[ver2]) {continue; //边失效}mst.enQueue(e);if(!visited[ver1])visit(wg, ver1);if(!visited[ver2])visit(wg, ver2);}}private void visit(WeightedGraph wg, int ver) {visited[ver] = true; //标记顶点for(Edge e : wg.adj(ver)) {if(!visited[e.other(ver)])pq.enQueue(e);}}public Iterable<Edge> getMST() {return mst;}public static void main(String[] args) {int[][] data = {{0, 2, 2},{0, 1, 4},{0, 5, 5},{1, 2, 3},{1, 5, 11},{1, 3, 7},{2, 3, 8},{2, 4, 10},{3, 5, 6},{3, 4, 1},{4, 5, 9}};WeightedGraph wg = new WeightedGraph(data,6);LazyPrimMST lpm = new LazyPrimMST(wg);for(Edge e : lpm.getMST()) {System.out.println(e);}}
}

其中，LinkedQueue类的代码在《数据结构与算法（三），栈与队列》中；而MinPQ类的代码与《数据结构与算法（五），优先队列》中MaxPQ类的代码几乎一样，只需将方法less中的小于号改为大于号即可。这里就不在给出代码了

此方法的时间复杂度为 O(ElogE)，空间复杂度为 O(E)。其中，V为顶点个数，E为边数

2)、Prim算法即时实现

基于Prim算法的延迟实现，我们可以在优先队列中只保存每个非树顶点V的一条边（即它与树中的顶点连接起来的权重最小的那条边），因为其他权重较大的边迟早都会失效。

实现过程如下图：

代码实现：

/*** prim的即时实现*/
public class PrimMST {private Edge[] edgeTo; //点离生成树最近的边private int[] distTo; //点到生成树的距离private boolean[] visited;private IndexMinPQ<Integer> pq; //索引优先队列，关联顶点与distTopublic PrimMST(WeightedGraph wg) {//初始化edgeTo = new Edge[wg.getVertexsNum()];distTo = new int[wg.getVertexsNum()];visited = new boolean[wg.getVertexsNum()];for(int i=0; i<wg.getVertexsNum(); i++) {distTo[i] = Integer.MAX_VALUE;}pq = new IndexMinPQ<>(wg.getVertexsNum());distTo[0] = 0;pq.insert(0, 0);while(!pq.isEmpty()) {visit(wg, pq.delMin());}}private void visit(WeightedGraph wg, int ver) {visited[ver] = true;for(Edge e : wg.adj(ver)) {int vertex = e.other(ver); //边的另一个点if(visited[vertex])continue;if(e.getWeight() < distTo[vertex]) {edgeTo[vertex] = e; //被覆盖的边失效distTo[vertex] = e.getWeight();if(pq.contains(vertex)) {pq.change(vertex, distTo[vertex]); }else {pq.insert(vertex, distTo[vertex]);}}}}public Iterable<Edge> getMST() {return Arrays.asList(edgeTo);}
}

此方法的时间复杂度为 O(ElogV)，空间复杂度为 O(V)。其中，V为顶点个数，E为边数。

可以看出Prim算法的即时实现比延迟实现明显要快，特别是对于稠密矩阵（E>>>V）的情况。

2、Kruskal算法

Kruskal算法的思想是按照边的权重顺序来生成最小生成树，首先将图中所有边加入优先队列，将权重最小的边出队加入最小生成树，保证加入的边不与已经加入的边形成环，直到树中有V-1到边为止。

实现过程如下图：

/*** Kruskal算法的实现*/
public class KruskalMST {private List<Edge> mst; //存储最小生成树的边private MinPQ<Edge> pq; //优先队列private int[] parent; //用来判断边与边是否形成回路public KruskalMST(WeightedGraph wg) {mst = new ArrayList<Edge>();pq = new MinPQ<>(wg.getEdgesNum());parent = new int[wg.getVertexsNum()];for(Edge e : wg.getEdges()) {pq.enQueue(e);}//最小生成树的边最多为V-1个while(!pq.isEmpty() && mst.size() < wg.getVertexsNum() - 1) {Edge e = pq.deQueue();int v = e.either();int n = find(parent, v);int m = find(parent, e.other(v));if(n != m) { //表示此边没有与生成树形成环路parent[n] = m;mst.add(e);}}}//查找连接树的尾部下标private int find(int[] data, int v) {while(parent[v] > 0) {v = parent[v];}return v;}public Iterable<Edge> getMST() {return mst;} 
}

Kruskal算法的时间复杂度最坏情况下为O(ElogE)。空间复杂度为O(E)。

对比Prim算法和Kruskal算法，Kruskal算法主要根据边来生成树，边数少时效率比较高，适合稀疏图；而Prim算法对边数多的稠密图效果更好一些。

五、最短路径

最短路径指两顶点之间经过的边上权值之和最少的路径，并且称路径上的第一个顶点为源点，最后一个顶点为终点。

为了操作方便，首先使用面向对象的方法，来实现一个加权的有向图，其代码如下：

/*** 有向边*/
public class Edge{private final int from;private final int to;private final int weight;public Edge(int from, int to, int weight) {super();this.from = from;this.to = to;this.weight = weight;}public int getFrom() {return from;}public int getTo() {return to;}public int getWeight() {return weight;}
}//带权有向图的实现
public class WeightedDigraph {private final int vertexsNum;private final int edgesNum;private List<Edge>[] adj; //邻接表public WeightedDigraph(int[][] data, int vertexsNum) {this.vertexsNum = vertexsNum;this.edgesNum = data.length;adj  = (List<Edge>[]) new ArrayList[vertexsNum];for(int i=0; i<vertexsNum; i++) {adj[i] = new ArrayList<>();}for (int i = 0; i < data.length; i++) {Edge edge = new Edge(data[i][0],data[i][1],data[i][2]);int v = edge.getFrom();adj[v].add(edge);}}public Iterable<Edge> adj(int vertex) {return adj[vertex];}public int getVertexsNum() {return vertexsNum;}public int getEdgesNum() {return edgesNum;}//有向图中所有的边public Iterable<Edge> getEdges() {List<Edge> edges = new ArrayList<>();for(List<Edge> list : adj) {for(Edge e : list) {edges.add(e);}}return edges;}
}

顶点到源点s的最短路径，我们使用一个用顶点索引的Edge数组（edgeTo[]）来存储，使用数组distTo[]来存储最短路径树（包含了源点S到所有可达顶点的最短路径）。

边的松弛操作：

边的松弛过程如下图：

松弛边【1,4】就是检查顶点0到4的最短路径是否是先从顶点0到1，然后在由顶点1到4。如果是则【0,4】边失效，将【1,4】加入最短路径树。

代码：

private void relax(WeightedDigraph wd,Edge e) {int v = e.getFrom();int w = e.getTo();if(distTo[w] > distTo[v] + e.getWeight()) {distTo[w] = distTo[v] + e.getWeight();edgeTo[w] = e;}
}

顶点的松弛操作：

顶点的松弛就是松弛顶点的所有邻接边，这里就不给出过程了，实现代码在Dijkstra实现中。

1、Dijkstra算法

算的的实现过程：

Dijkstra算法的代码实现：

//Dijkstra算法的实现
public class Dijkstra {private Edge[] edgeTo; //最短路径树private int[] distTo; //存储每个顶点到源点的距离//索引优先队列，建立distTo和顶点索引，distTo越小，优先级越高private IndexMinPQ<Integer> pq; public Dijkstra(WeightedDigraph wd, int s) {edgeTo = new Edge[wd.getVertexsNum()];distTo = new int[wd.getVertexsNum()];pq = new IndexMinPQ<>(wd.getVertexsNum());for(int i=0; i<wd.getVertexsNum(); i++) {distTo[i] = Integer.MAX_VALUE;}distTo[s] = 0; //源点s的distTo为0pq.insert(s, 0);while(pq.isEmpty()) {relax(wd, pq.delMin());}}//顶点的松弛private void relax(WeightedDigraph wd, int ver) {for(Edge e : wd.adj(ver)) {int v = e.getTo();if(distTo[v] > distTo[ver] + e.getWeight()) {distTo[v] = distTo[ver] + e.getWeight();edgeTo[v] = e;if(pq.contains(v)) {pq.change(v, distTo[v]);}else {pq.insert(v, distTo[v]);}}}}
}

Dijkstra算法的局限性：图中边的权重必须为正，但可以是有环图。时间复杂度为O(ElogV)，空间复杂度O（V）。