7.7 空间曲线及其方程

news/2024/10/31 7:33:55/

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文章目录

  • 空间曲线的一般方程
  • 空间曲线的参数方程
  • 空间曲线在坐标面上的投影

空间曲线的一般方程

空间曲线 C {C} C可以看作空间两曲面的 S 1 {S_{1}} S1 S 2 {S_{2}} S2的交线,设两曲面方程为

S 1 : F ( x , y , z ) = 0 , {S_{1}}:F(x,y,z)=0, S1:F(x,y,z)=0,
S 2 : G ( x , y , z ) = 0 , {S_{2}}:G(x,y,z)=0, S2:G(x,y,z)=0,

因此,方程组
{ F ( x , y , z ) = 0 , G ( x , y , z ) = 0 , \begin{align} \left\{ \begin{aligned} F(x,y,z)=0 , \\ G(x,y,z)=0,\\ \end{aligned} \right. \end{align} {F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0,
称为空间曲线的一般方程.


空间曲线的参数方程

空间曲线也可以用参数形式表示,将曲线 C C C上的动点的坐标 x , y , z x,y,z x,y,z表示参数 t t t的函数,即

{ x = x ( t ) , y = y ( t ) , z = z ( t ) . \begin{align} \left\{ \begin{aligned} x&=x(t) , \\ y&=y(t),\\ z&=z(t). \end{aligned} \right. \end{align} xyz=x(t),=y(t),=z(t).
方程组 (2) 叫做空间曲线的参数方程. 当给定 t = t 1 t=t_{1} t=t1时,得到曲线上的一点 ( x 1 , y 1 , z 1 ) (x_{1},y_{1},z_{1}) (x1,y1,z1),随着参数的变化可得到曲线上的全部点.


空间曲线在坐标面上的投影

  1. 投影柱面及投影曲线

过空间曲线 C C C做母线平行于 z z z轴的柱面,称它为 C C C关于 x O y xOy xOy 面的投影柱面, 此柱面与 x O y xOy xOy面的交线 C ′ C^{'} C 称为 C C C关于 x O y xOy xOy面的投影曲线(简称投影).

  1. 投影柱面及投影曲线的求法

设空间曲线 C C C的一般方程为 { F ( x , y , z ) = 0 , G ( x , y , z ) = 0 , \begin{align} \left\{ \begin{aligned} F(x,y,z)=0 , \\ G(x,y,z)=0,\\ \end{aligned} \right. \end{align} {F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0,
消去 z z z得投影柱面 H ( x , y ) = 0 H(x,y)=0 H(x,y)=0,则 C C C x O y xOy xOy面上的投影曲线 C ′ C^{'} C
{ H ( x , y ) = 0 , z = 0 , \begin{align} \left\{ \begin{aligned} H(x,y)&=0 , \\ z&=0,\\ \end{aligned} \right. \end{align} {H(x,y)z=0,=0,
消去 x x x C C C y O z yOz yOz面上的投影曲线方程
{ R ( y , z ) = 0 , x = 0 , \begin{align} \left\{ \begin{aligned} R(y,z)&=0 , \\ x&=0,\\ \end{aligned} \right. \end{align} {R(y,z)x=0,=0,
消去 y y y C C C x O z xOz xOz面上的投影曲线方程
{ T ( x , z ) = 0 , y = 0 , \begin{align} \left\{ \begin{aligned} T(x,z)&=0 , \\ y&=0,\\ \end{aligned} \right. \end{align} {T(x,z)y=0,=0,



http://www.ppmy.cn/news/279634.html

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