###Z=X+Y型概率密度的求解###
@(概率论)

$Z=g(X,Y)$

总结过一次，一般方法是可以由分布函数再求导得到概率密度，计算一定更要小心才能得到正确的解。

$$\begin{gathered} F_Z(z)=P(Z\le z)=P(g(X,Y)\le z) \\ =\int {\int }_{g(x,y)\le z}f(x,y)dxdy \end{gathered}$$

特别当$Z=X-Y$时，推导：

$$\begin{gathered} F_Z(z)=P(X+Y\le z)=\int {\int }_{x+y\le z}f(x,y)dxdy \\ ={\int }_{-\infty }^{+\infty }dx{\int }_{-\infty }^{z-x}f(x,y)dy \\ 或者={\int }_{-\infty }^{+\infty }dy{\int }_{-\infty }^{z-y}f(x,y)dy \end{gathered}$$

从而求得概率密度是：
$$\begin{gathered} f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,z-x)dx \\ {f}_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(z-y,y)dy \end{gathered}$$

更特别的是，如果X,Y相互独立，则:
$$\begin{gathered} f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(x)f_Y(z-x)dx \\ {f}_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(z-y)f_Y(y)dy \end{gathered}$$

可以看出来一点规律，如果是用x作积分变元，则就从表达式中解出对方，如y = z-x。

这个具有一般性，即如果Z = X-Y，则对x积分时，y替换为y = x-z即可。

看一道例子，运用这种方法很快，但是一定要小心求得正确解，否则毫无意义。

设随机变量(X,Y)的概率密度是：
$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}3x,& 0<x<1,0<y<x,\\ 0,& 其他\end{array}$$
求随机变量Z = X-Y的概率密度$f_Z(z)$

分析：直接引入公式。

$$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,x-z)dx$$

到这里要准备好变量的取值范围，根据题干，必须有：

$$\begin{gathered} 0<x<1,0<x-z<x \\ \to 0<x<1,x>z;z>0,z<1 \end{gathered}$$

从两个角度分别看。即求积分要把z视作常量，得到$0<z<x<1$。
而z本身也需要确定范围，将x视作常量，且x范围已知，因此$0<z<1$。

确定范围非常重要。

这样就可以直接得到答案了：

0 < z <1时
$$f_Z(z)={\int }_z^{1}3xdx=\frac{3}{2}-\frac{3z^2}{2}$$

其他情况下，$f_Z(z)=0$

即：

$$f_Z(z)=\{\begin{array}{ll}\frac{3}{2}-\frac{3z^2}{2},& 0<z<1,\\ 0,& 其他\end{array}$$

–写这个原因是求错了的答案怀疑这种公式无法使用，实际上是因为自己太蠢了些。重新思考发现此法要比求二重积分再求导得到答案要快许多，运用得好，效率倍增。

Update:实际上这里没有彻底搞清楚x的取值范围问题，以至在后面出现了不是很理解的题目。

回到这里总结一下。

$$f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,x-z)dx,0<x<1,0<x-z<x$$

最好的做法是看两个变量互相牵制形成了怎样的局面，画图是最佳方法。我们以积分变元为横轴，当然也可以是纵轴，只是要熟悉背后的道理。

阴影部分区域是二者互相限制后形成的可积分的区域。现在不是求二重积分而是一重积分，但是可以用二重积分的思想：认为是对z积分以后现在再对x积分，因此，x的取值是在垂直于z的取值范围内画一条红线，穿过阴影区域的上下限值，因此是(z,1)，这才是真正的完整的解法。上面的范围求解在分三段甚至更多段的情况下根本不好判断。数形结合百般好，隔家分裂万事非。

20190919 update:

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