动态规划之01背包问题和完全背包问题

news/2024/11/1 10:22:48/

01背包的问题描述:(内容参考代码随想录

有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i],得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次,求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

问题示例:

背包最大重量为4。

重量

价值

物品0

1

15

物品1

3

20

物品2

4

30

解法一:暴力求解

每一件物品其实只有两个状态,取或者不取,所以可以使用回溯法搜索出所有的情况,那么时间复杂度就是o(2^n),这里的n表示物品数量。

所以暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化!

解法二:二维dp数组01背包

1.确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取,放进容量为j的背包,价值总和最大是多少

2.确定递推公式

不放物品i:由dp[i - 1][j]推出,即背包容量为j,里面不放物品i的最大价值,此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时,物品i无法放进背包中,所以被背包内的价值依然和前面相同。)

放物品i:由dp[i - 1][j - weight[i]]推出,dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值,那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] (物品i的价值),就是背包放物品i得到的最大价值

所以递归公式: dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

3.dp数组初始化

如果背包容量j为0的话,即dp[i][0],无论是选取哪些物品,背包价值总和一定为0。

dp[0][j],即:i为0,存放编号0的物品的时候,各个容量的背包所能存放的最大价值。

那么很明显当 j < weight[0]的时候,dp[0][j] 应该是 0,因为背包容量比编号0的物品重量还小。

当j >= weight[0]时,dp[0][j] 应该是value[0],因为背包容量放足够放编号0物品。

从递归公式: dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出dp[i][j] 是由左上方数值推导出来了,那么 其他下标初始为什么数值都可以,因为都会被覆盖。

4.确定遍历顺序

虽然两个for循环遍历的次序不同,不管是先遍历背包还是先遍历物品,dp[i][j]所需要的数据就是左上角,根本是不影响结果的。

public static void main(String[] args) {int[] weight = {1,3,4};int[] value = {15,20,30};int bagSize = 4;testWeightBagProblem(weight,value,bagSize);}/*** 动态规划获得结果* @param weight  物品的重量* @param value   物品的价值* @param bagSize 背包的容量*/public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagSize){// 创建dp数组int goods = weight.length;  // 获取物品的数量int[][] dp = new int[goods][bagSize + 1];// 初始化dp数组// 创建数组后,其中默认的值就是0for (int j = weight[0]; j <= bagSize; j++) {dp[0][j] = value[0];}// 填充dp数组for (int i = 1; i < weight.length; i++) {for (int j = 1; j <= bagSize; j++) {if (j < weight[i]) {/*** 当前背包的容量都没有当前物品i大的时候,是不放物品i的* 那么前i-1个物品能放下的最大价值就是当前情况的最大价值*/dp[i][j] = dp[i-1][j];} else {/*** 当前背包的容量可以放下物品i* 那么此时分两种情况:*    1、不放物品i*    2、放物品i* 比较这两种情况下,哪种背包中物品的最大价值最大*/dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j] , dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]);}}}// 打印dp数组for (int i = 0; i < goods; i++) {for (int j = 0; j <= bagSize; j++) {System.out.print(dp[i][j] + "\t");}System.out.println("\n");}}

解法三:一维dp数组01背包

1.确定dp数组的定义

在一维dp数组中,dp[j]表示:容量为j的背包,所背的物品价值可以最大为dp[j]。

2.一维dp数组的递推公式

dp[j]有两个选择,一个是取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j],即不放物品i,一个是取dp[j - weight[i]] + value[i],即放物品i,指定是取最大的,毕竟是求最大价值。

3.一维dp数组如何初始化

dp[j]表示:容量为j的背包,所背的物品价值可以最大为dp[j],那么dp[0]就应该是0,因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。

根据递归公式:dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);所以在初始化的时候不能初始化较大的值,因为dp[j]是求最大值得出的,不然会影响结果,初始为非负数中最小的就行,初始化为0就合适。

4.一维dp数组遍历顺序

二维dp遍历的时候,背包容量是从小到大,而一维dp遍历的时候,背包是从大到小。倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次!因为一维数组的结果要依赖前一次的结果,所以如果正序遍历,那么就会造成前面的结果重复计算。所以从后往前循环,每次取得状态不会和之前取得状态重合,这样每种物品就只取一次了。

为什么二维dp数组历的时候不用倒序呢?因为对于二维dp,dp[i][j]都是通过上一层即dp[i - 1][j]计算而来,本层的dp[i][j]并不会被覆盖!

两个嵌套for循环的顺序,一定是先遍历物品嵌套遍历背包容量,不能颠倒。

 public static void main(String[] args) {int[] weight = {1, 3, 4};int[] value = {15, 20, 30};int bagWight = 4;testWeightBagProblem(weight, value, bagWight);}public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagWeight){int wLen = weight.length;//定义dp数组:dp[j]表示背包容量为j时,能获得的最大价值int[] dp = new int[bagWeight + 1];//遍历顺序:先遍历物品,再遍历背包容量for (int i = 0; i < wLen; i++){for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--){dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}}//打印dp数组for (int j = 0; j <= bagWeight; j++){System.out.print(dp[j] + " ");}}

小结:

01背包问题,用二维数组dp[i][j]和一维数组dp[i]来求解,两者有很大区别。在dp数组的含义,dp数组的初始化,以及for循环嵌套顺序以及遍历顺序都是不同的。

完全背包问题

01背包和完全背包的区别在于,01背包的物品只能使用一次,而完全背包的物品可以无限次使用,所以在遍历顺序上是有区别的。01背包问题为了能让每个物品只使用一次,所以是倒序遍历背包,而完全背包就改为正序遍历了。很简单的理解啊,因为正序遍历,后一个背包状态要依赖前一个背包的状态,所以一个物品可以被加了多次,而倒序遍历,因为前面的背包状态是初始值,所以后一个背包加了前面的背包状态也是无效的。同样,跟01背包的dp二维数组一样,两层for循环也是可以颠倒的。

//先遍历物品,再遍历背包
private static void testCompletePack(){int[] weight = {1, 3, 4};int[] value = {15, 20, 30};int bagWeight = 4;int[] dp = new int[bagWeight + 1];for (int i = 0; i < weight.length; i++){ // 遍历物品for (int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++){ // 遍历背包容量dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}}for (int maxValue : dp){System.out.println(maxValue + "   ");}
}//先遍历背包,再遍历物品
private static void testCompletePackAnotherWay(){int[] weight = {1, 3, 4};int[] value = {15, 20, 30};int bagWeight = 4;int[] dp = new int[bagWeight + 1];for (int i = 1; i <= bagWeight; i++){ // 遍历背包容量for (int j = 0; j < weight.length; j++){ // 遍历物品if (i - weight[j] >= 0){dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - weight[j]] + value[j]);}}}for (int maxValue : dp){System.out.println(maxValue + "   ");}
}


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