目录
一，椭圆曲线
二，椭圆曲线上的有理点
1，y^2=x^3+x
2，y^2=x^3-4x^2+16
3，y^2=x^3+17
三，挠点系
1，挠点系
2，挠点系的意义
3，有理挠点系
4，挠定理
（1）Nagell-Lutz定理
（2）Mazur定理
四，椭圆曲线上的整点
1，挠点系和整点
2，y^2=x^3+17
3，Siegel定理
一，椭圆曲线
在椭圆曲线加密https://blog.csdn.net/nameofcsdn/article/details/115627882一文中，主要讨论的是，椭圆曲线的一些和加密相关的特性，
本文讨论其他的一些特性。
椭圆曲线加密中给出了常用椭圆曲线的方程
本文使用它规约之后的形式：
判别式： 如果
不为0那么它就是椭圆曲线。
参考：https://blog.csdn.net/nameofcsdn/article/details/105172343
本文不讨论加密，所以没有无穷远点。
二，椭圆曲线上的有理点
1，y^2=x^3+x
证明曲线上唯一的有理点是（0,0）
证明：假设存在其他有理解，设x=a/b,y=c/d
则
两边都是最简分数，所以
所以
所以
而这个方程其实是无解的，证明参考https://blog.csdn.net/nameofcsdn/article/details/115708334
所以没有其他有理解。
2，y^2=x^3-4x^2+16
曲线上只有4个有理点：x=0或4，y=4或-4
这4个点连成的6条直线，有2条是垂直的，还有4条分别是这4个点处的切线，这6条直线都和曲线没有第三个交点。
3，y^2=x^3+17
曲线上有无穷多有理点
三，挠点系
椭圆曲线，其中a,b,c都是整数
1，挠点系
如果椭圆曲线上有t个点，t>=3，
且任意两点连成的直线，要么和曲线没有第三个交点，要么第三个交点就在这t个点中，
那么我们称，这t个点构成一个挠点系。
2，挠点系的意义
挠点系的存在告诉我们，通过连接直线寻找第三个点的方法，有可能只能找到有限个点。
3，有理挠点系
如果一个挠点系中都是有理点，那么我们称之为有理挠点系。
显然，2个有理点连成的直线，要么和曲线交于有理点，要么没有第三个交点。
所以，如果有理点的个数是有限的，那么所有的有理点就可以构成一个挠点系。
4，挠定理
如果椭圆曲线存在有理挠点系，判别式不为0，那么：
（1）Nagell-Lutz定理
该挠点系中所有点都是整点，且对于每个点，纵坐标y要么是0，要么满足
PS：有可能有整点不在挠点系中
（2）Mazur定理
该挠点系中至多只有15个点
PS：有理点要么不超过15个，要么有无穷多个。如果一个有理点不在任何一个挠点系中，那么有理点一定是无穷多的。
四，椭圆曲线上的整点
1，挠点系和整点
因为通过2个整点并不能直接得到一个新的整点（这和有理点不同），所以挠定理和整点关系不大。
有可能有整点不在挠点系中。
2，y^2=x^3+17
曲线上的整点(-2,3)不在任何一个挠点系中。
在x<10^100的范围内，所有的整点如下：
x=-1,-2,2,4,8,43,42,5234，一共16个点。
看起来似乎x大于5234的整点非常少，有可能没有了。
3，Siegel定理
椭圆曲线，其中a,b,c都是整数
如果判别式不为0，那么曲线上只有有限个整点
