群的定义

设$⟨G,\cdot ⟩$为独异点，若$G$中每个元素关于$\cdot$都是可逆的，则称$⟨G,\cdot ⟩$为群
由于群中结合律成立，每个元素的逆元是唯一的

若群$⟨G,\cdot ⟩$中的二元运算$\cdot$是可交换的，则称$⟨G,\cdot ⟩$为可交换群，也称阿贝尔群

群的判定

定理1：设$⟨G,\cdot ⟩$为半群，若
（1）有左单位元，即$\exists e_l\in G$使$\forall a\in G,e_l\cdot a=a$
（2）每个元素有左逆元，即$\forall a\in G,\exists a_l\in G$，使$a_l\cdot a=e_l$则$⟨G,\cdot ⟩$是群

证明：因为$a_l\in G$，所以$\exists a^{\prime }\cdot a_l=e_l$，于是
$$\begin{array}{rl}a\cdot a_l& =e_l\cdot \left(a\cdot a_l\right)\\ & =\left(a^{\prime }\cdot a_l\right)\cdot \left(a\cdot a_l\right)\\ & =a^{\prime }\cdot \left(a_l\cdot a\right)\cdot a_l\\ & =a^{\prime }\cdot e_l\cdot a_l\\ & =a^{\prime }\cdot \left(e_l\cdot a_l\right)\\ & =a^{\prime }\cdot a_l\\ & =e_l\end{array}$$
因此$a_l$也是$a$的右逆元，进而$a$可逆

$\forall a\in G$
$$a\cdot e_l=a\cdot \left(a_l\cdot a\right)=\left(a\cdot a_l\right)\cdot a=e_l\cdot a=a$$
因此$e_l$是单位元

因此$⟨G,\cdot ⟩$是群

将本定理中的左同时改成右也成立，但是一左一右不一定

定理2：设$⟨G,\cdot ⟩$是半群，若$\forall a,b\in G$，方程$a\cdot x=b$和$y\cdot a=b$在$G$中都有接，则$⟨G,\cdot ⟩$是群

证明：
（1）取$a\in G$设$e_l$为$y\cdot a=a$的一个解，$\forall b\in G$，令$c$为$a\cdot x=b$的一个解，则
$$e_l\cdot b=e_l\cdot \left(a\cdot c\right)=\left(e_l\cdot a\right)\cdot c=a\cdot c=b$$
故$e_l$是左单位元
（2）$\forall a\in G$，令$a_l$为$y\cdot a=e_l$的一个解，则$a_l\cdot a=e_l$
由定理1，$⟨G,\cdot ⟩$是群

定理3：设$⟨G,\cdot ⟩$是有限半群，若$G$中消去律成立，则$⟨G,\cdot ⟩$是群

证明：
设 G = { a 1 , a 2 , ⋯ , a n } G = \left\{a_1,a_2,\cdots, a_n\right\} G={a1​,a2​,⋯,an​}
$\forall a,b\in G$
作 G ′ = { a ⋅ a 1 , a ⋅ a 2 , ⋯ , a ⋅ a n } G^{\prime} = \left\{a\cdot a_1, a\cdot a_2,\cdots, a\cdot a_n\right\} G′={a⋅a1​,a⋅a2​,⋯,a⋅an​}，$G^{\prime }\subseteq G$
因为消去律成立，若$i\ne j$，则$a\cdot a_i\ne a\cdot a_j$
因此$\left|G^{\prime }\right|=G$，则$G^{\prime }=G$
因为$b\in G$,有$b\in G^{prime}$
即$\exists k\in \mathbb{N}$，使得$a\cdot a_k=b$，所以$a_k\in G$是方程$a\cdot x=b$的解
同理，$\forall a,b\in G$，$y\cdot a=b$在$G$中有解
由定理2，$⟨G,\cdot ⟩$是群

群的性质

设$⟨G,\cdot ⟩$是群，则
（1）$\forall a,b\in G,{\left(a\cdot b\right)}^{-1}=b^{-1}\cdot a^{-1}$；
（2）$\forall a,b\in G$，方程$a\cdot x=b$和$y\cdot a=b$在$G$中有唯一解；
（3）$G$中消去律成立

证明：
（1）
因为$\left(b^{-1}\cdot a^{-1}\right)\cdot \left(a\cdot b\right)=e$
并且$\left(a\cdot b\right)\cdot \left(b^{-1}\cdot a^{-1}\right)=e$
所以${\left(a\cdot b\right)}^{-1}=b^{-1}\cdot a^{-1}$
（2）$a\cdot \left(a^{-1}\cdot b\right)=b$所以$a^{-1}\cdot b$是方程$a\cdot x=b$在$G$中的解
若$c$也是$a\cdot x=b$在$G$中的解，即$a\cdot c=b$，则
$$c=e\cdot c=\left(a^{-1}\cdot a\right)\cdot c=a^{-1}\cdot \left(a\cdot c\right)=a^{-1}\cdot b$$
同理$y\cdot a=b$在$G$中由唯一解

（3）$G$中每个元素都是可逆的，又因为可逆元都是可约元，故$G$中消去律成立

元素的阶

设$⟨G,\cdot ⟩$是群，$a\in G$，$a$的整数次幂可归纳定义为：
（1）$a^0=e$
（2）$a^{n+1}=a^n\cdot a,n\in \mathbb{N}$
（3）$a^{-n}={\left(a^{-1}\right)}^n,n\in {\mathbb{I}}_{+}$

容易证明$\forall m,n\in \mathbb{I},a^m\cdot a^n=a^{m+n},{\left(a^m\right)}^n=a^{mn}$

定义：设$⟨G,\cdot ⟩$是群，$a\in G$,若$\forall n\in \mathbb{I}$，$a^n\ne e$则称$a$的阶是无限的；
否则称使$a^n=e$的最小正整数$n$为$a$的阶
$a$的阶也称$a$的周期，常用$\left|a\right|$表示

显然单位元使群中阶为$1$的唯一元素

定理1：设$⟨G,\cdot ⟩$使群，$a\in G$，且$\left|a\right|=n$，则$a^k=e$当且仅当$n\mid k$
证明：
充分性：若$n\mid k$，则$\exists q\in \mathbb{I}$，使$k=qn$，则
$$a^k=a^{qn}={\left(a^n\right)}^q=e^q=e$$
必要性：若$a^k=e$，设$k=qn+r，0\le r<n$,则
$$a^r=a^{k-qn}=a^k\cdot {\left(a^n\right)}^{-q}=e\cdot {\left(e\right)}^{-q}=e$$
但$n$使使$a^n=e$的最小正整数，所以$r=0$，$k=qn$，故$n\mid k$

定理2:设$⟨G,\cdot ⟩$使群，$a\in G$，且$\left|a\right|=n,k\in \mathbb{I}$
则$\left|a^k\right|=\frac{n}{\left(k,n\right)}$,特别地，$\left|a^{-1}\right|=\left|a\right|$

证明：设$\left|a^k\right|=m$，则$a^{km}=e$，由定理1，$n\mid km$，所以
$$\frac{n}{\left(k,n\right)}\mid \frac{k}{\left(k,n\right)}m$$
而$\frac{n}{\left(k,n\right)}$与$\frac{k}{\left(k,n\right)}$互质，故$\frac{n}{\left(k,n\right)}\mid m$，又因为
$${\left(a^k\right)}^{\frac{n}{\left(k,n\right)}}={\left(a^n\right)}^{\frac{k}{\left(k,n\right)}}=e$$
所以$m\mid \frac{n}{\left(k,n\right)}$，而$m,\frac{n}{\left(k,n\right)}\in {\mathbb{I}}_{+}$，故$m=\frac{n}{\left(k,n\right)}$

定理3：设$⟨G,\cdot ⟩$为有限群，$\left|G\right|=n$，则$\forall a\in G,\left|a\right|\le n$
证明：$\forall a\in G,a,a^2,\cdots ,a^{n+1}$中必有两个相同元，设为$a^i=a^j$,其中$1\le i<j\le n+1$,
则$a^{j-i}=e$，故$\left|a\right|\le j-i\le n$

参考：
离散数学（刘玉珍）