【数据结构与算法】跳表

news/2025/4/2 15:24:02/

🌠作者：@阿亮joy.
🎆专栏：《数据结构与算法要啸着学》
🎇座右铭：每个优秀的人都有一段沉默的时光，那段时光是付出了很多努力却得不到结果的日子，我们把它叫做扎根
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目录

    • 👉什么是跳表👈
    • 👉skiplist的效率如何保证？👈
    • 👉skiplist的实现👈
      • 节点的设计
      • 构造函数
      • 节点的随机层数
      • skiplist的查找
      • skiplist的插入和删除
      • 打印跳表
      • 完整代码
    • 👉skiplist跟平衡搜索树和哈希表的对比👈
    • 👉总结👈

👉什么是跳表👈

skiplist 本质上也是一种查找结构，用于解决算法中的查找问题，跟平衡搜索树和哈希表的价值是一样的，可以作为 key 或者 key / value 的查找模型。那么相比而言它的优势是什么的呢？这么等我们学习完它的细节实现，我们再来对比。

skiplist是由 William Pugh 发明的，最早出现于他在 1990 年发表的论文《Skip Lists: A Probabilistic Alternative to Balanced Trees》。skiplist，顾名思义，首先它是一个 list。实际上，它是在有序链表的基础上发展起来的。如果是一个有序的链表，查找数据的时间复杂度是 O(N)。


William Pugh 开始的优化思路：

  1. 假如我们每相邻两个节点升高一层，增加一个指针，让指针指向下下个节点，如下图 b 所示。这样所有新增加的指针连成了一个新的链表，但它包含的节点个数只有原来的一半。由于新增加的指针，我们不再需要与链表中每个节点逐个进行比较了，需要比较的节点数大概只有原来的一半。
  2. 以此类推，我们可以在第二层新产生的链表上，继续为每相邻的两个节点升高一层，增加一 个指针，从而产生第三层链表。如下图 c 所示，这样搜索效率就进一步提高了。
  3. skiplist 正是受这种多层链表的想法的启发而设计出来的。实际上，按照上面生成链表的 式，上面每一层链表的节点个数，是下面一层的节点个数的一半，这样查找过程就非常类似二分查找，使得查找的时间复杂度可以降低到 O(logN)。但是这个结构在插入删除数据的时候有很大的问题，插入或者删除一个节点之后，就会打乱上下相邻两层链表上节点个数严格的 2 : 1 的对应关系。如果要维持这种对应关系，就必须把新插入的节点后面的所有节点（也包括新插入的节点）重新进行调整，这会让时间复杂度重新退化成 O(N)。

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  1. skiplist 的设计为了避免这种问题，做了一个大胆的处理，不再严格要求对应比例关系，而是插入一个节点的时候随机出一个层数。这样每次插入和删除都不需要考虑其他节点的层数，这样就好处理多了。细节过程入下图：

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注：插入和删除的过程将会在后面讲解。插入一个节点的时候随机出一个层数，那么就能够保证每个节点的插入和删除根其他节点没有关系，都是独立的，不需要调整其他节点的层数。


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👉skiplist的效率如何保证？👈

上面我们说到，skiplis t插入一个节点时随机出一个层数，听起来怎么这么随意，如何保证搜索时的效率呢？

这里首先要细节分析的是这个随机层数是怎么来的。一般跳表会设计一个最大层数 maxLevel 的限制，其次会设置一个多增加一层的概率 p。那么计算这个随机层数的伪代码如下图：

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在 Redis 的 skiplist 实现中，这两个参数的取值为：p = 1/4 和 maxLevel = 32。注：谷歌的开源项目 LevelDB（小型的 KV 型数据库）也采用了 skiplist，有兴趣的大佬可以了解一下！

根据前面 randomLevel() 的伪码，我们很容易看出，产生越高的节点层数，概率越低。定量的分析如下：

  • 节点层数至少为 1，增加一层的概率是 p。而大于 1 的节点层数，满足一个概率分布（高中的 01 分布）。
  • 节点层数恰好等于1的概率为 1 - p（增加一层的概率是p，因为层数至少是 1，所以不需要增加层数，即 1 层的概率是 1 - p）。
  • 节点层数大于等于 2 的概率为 p，而节点层数恰好等于 2 的概率为 p * (1-p)。
  • 节点层数大于等于 3 的概率为 p2，而节点层数恰好等于 3 的概率为 p2 * (1-p)。
  • 节点层数大于等于 4 的概率为 p3，而节点层数恰好等于 4 的概率为 p3 * (1-p)。
  • …

因此，一个节点的平均层数（也即包含的平均指针数目），计算如下：

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现在很容易计算出：

  • 当p=1/2时，每个节点所包含的平均指针数目为2；
  • 当p=1/4时，每个节点所包含的平均指针数目为1.33。


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跳表的平均时间复杂度为 O(logN)，这个推导的过程较为复杂，需要有一定的数学功底。有兴趣的大佬，可以参考以下文章中的讲解：

链接（铁蕾大佬的博客）

👉skiplist的实现👈

这里是引用

节点的设计

struct SkiplistNode
{int _val;vector<SkiplistNode*> _nextV;SkiplistNode(int val, size_t level): _val(val), _nextV(level, nullptr){}
}

注：每个节点的层数是随机的，申请一个新节点需要知道其层数和存储的值，通过 vector 的下标可以表示层数，下标为 0 表示第 0 层，以此类推。

构造函数

class Skiplist 
{typedef SkiplistNode Node;
public:Skiplist() {srand(time(0));	// 种子,用来确定插入节点的随机层数// 哨兵位头节点的层数是最多的// 初始状态哨兵位的层数给为1_head = new Node(-1, 1);    }
private:Node* _head; // 哨兵位头节点double _p = 0.25;   // 增加一层的概率size_t maxLevel = 32;   // 最高的层数
};

注：哨兵位头节点的层数永远是最高的，初始时让哨兵位的层数为 1。本人设计的增加一层的概率是 0.25，理论而言，概率越大，效率越高。

节点的随机层数

因为新增节点的层数是随机的，所以我们要设计一个算法来控制其层数。

计算这个随机层数的伪代码如下图：

在这里插入图片描述

C 语言产生随机数的方式

class Skiplist
{
private:int RandomLevel(){size_t level = 1;// rand() ->[0, RAND_MAX]之间// 条件 rand() <= RAND_MAX * _P 可以保证增加一层的概率是_p// 条件 level <= maxLevel 保证随机层数不超过最高层数maxLevel// rand函数会一直均匀地产生随机数while(rand() < RAND_MAX * _p && level < maxLevel){++level;}return level;}
}

C++ 产生随机数的方式

class Skiplist
{
private:int RandomLevel(){// default_random_engine和uniform_real_distribution都是类型// 只需要生成一个对象就行了,distribution会均匀地产生0到1的小数static std::default_random_engine generator(std::chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count());static std::uniform_real_distribution<double> distribution(0.0, 1.0);size_t level = 1;while (distribution(generator) <= _p && level < maxLevel){++level;}return level;}
}

测试随机数产生得是否均匀

// 测试随机数产生得是否均匀
void RandomTest()
{// C语言的方式size_t count1 = 0;double _p = 0.25;for (size_t i = 0; i < 1000000; ++i){if (rand() < RAND_MAX * _p)++count1;}cout << count1 << endl;// C++的方式unsigned seed = std::chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count();std::default_random_engine generator(seed);std::uniform_real_distribution<double> distribution(0.0, 1.0);size_t count2 = 0;for (int i = 0; i < 1000000; ++i){if (distribution(generator) <= 0.25)++count2;}cout << count2 << endl;
}

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通过上图可以看到，C 语言和 C++ 的随机数生成器生成的随机数还是很均匀的。C++ 的随机数生成器的类型比较复杂，建议使用 C 语言的随机数生成器，但是 C 语言的随机数生成器只能产生 0 到 32767 之间的数，范围比较小。不过可以通过加减一些数（减减循环变量），来扩大随机数的范围。

skiplist的查找

在这里插入图片描述

class Skiplist 
{typedef SkiplistNode Node;
public:bool search(int target) {Node* cur = _head;int level = _head->_nextV.size() - 1;while(level >= 0){// 下一个节点的值比target小,向右走// 下一个节点为空或者下一个节点的值比target大,向下一层走if(cur->_nextV[level] && cur->_nextV[level]->_val < target)cur = cur->_nextV[level];   // 向右走else if(cur->_nextV[level] == nullptr || cur->_nextV[level]->_val > target)--level;    // 向下一层走elsereturn true;    // 找到了}return false;   // 没找到}//...
}

skiplist的插入和删除

不管是插入值还是删除值，都需要找到该值的前面的节点，这样才能够修改指针的指向关系。那么我们可以将这个保存前一个指针的操作封装成一个函数，提供给插入和删除接口使用。

class Skiplist
{
private:vector<Node*> FindPrevNode(int num){Node* cur = _head;int level = _head->_nextV.size() - 1;// 插入节点所在位置每一层的前一个节点指针// 因为哨兵位头节点的层数总数最高的，// 所以可以让prevV数组的层数跟它的层数相等vector<Node*> prevV(level + 1, _head);while(level >= 0){// 下一个节点的值比num下,向右走// 下一个节点为空或者下一个节点的值大于等于num,向下走if(cur->_nextV[level] && cur->_nextV[level]->_val < num)cur = cur->_nextV[level];   // 向右走else if(cur->_nextV[level] == nullptr || cur->_nextV[level]->_val >= num){// 更新level层的前一个节点指针prevV[level] = cur;// 向下走--level;}}return prevV;}
}

插入节点的详细图解

在这里插入图片描述

class Skiplist 
{typedef SkiplistNode Node;
public:void add(int num) {vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num);int n = RandomLevel();Node* newNode = new Node(num, n);// 如果n超过当前的最大层数,那么就需要升高_head的层数if(n > _head->_nextV.size()){_head->_nextV.resize(n, nullptr);prevV.resize(n, _head);}// 链接前后节点for(size_t i = 0; i < n; ++i){newNode->_nextV[i] = prevV[i]->_nextV[i];prevV[i]->_nextV[i] = newNode;}}
}

删除节点的详细图解

在这里插入图片描述

class Skiplist 
{typedef SkiplistNode Node;
public:bool erase(int num) {vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num);// 第0层下一个不是num,则num不在表中if (prevV[0]->_nextV[0] == nullptr || prevV[0]->_nextV[0]->_val != num)return false;// num在表中Node* del = prevV[0]->_nextV[0];// del节点每一层的前后指针链接起来for(size_t i = 0; i < del->_nextV.size(); ++i){prevV[i]->_nextV[i] = del->_nextV[i];}// 如果删除的是层数最高的节点,需要将_head的层数降一下int i = _head->_nextV.size() - 1;while(i >= 0){// _head->_nextV[i]指向空,说明删除的节点是层数最高的if(_head->_nextV[i] == nullptr)--i;elsebreak;}_head->_nextV.resize(i + 1);return true;    // 删除成功}
}

细节：如果删除的节点的层数是最高的，那么可以将哨兵位头节点的层数降一降。如何判断删除的节点层数是不是最高呢？从哨兵位头节点的最高层起，如果该层的指针指向空，那么就说明删除的节点层数最高。当前层指针指向空，那么就需要看下一层指针是否指向空。以此类推，直至指针不指向空，那么就可以求出删除最高节点后剩余节点的最高层数了。

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跳表 Skiplist 的核心代码已经写完了，提交到力扣上检查一下对不对咯！

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打印跳表

class Skiplist
{
public:void Print(){/*int level = _head->_nextV.size();for (int i = level - 1; i >= 0; --i){Node* cur = _head;while (cur){printf("%d->", cur->_val);cur = cur->_nextV[i];}printf("\n");}*/Node* cur = _head;while (cur){printf("%2d\n", cur->_val);// 打印每个每个cur节点for (auto e : cur->_nextV){printf("%2s", "↓"); // 有几个箭头就说明该节点有几层}printf("\n");cur = cur->_nextV[0];}}
}

打印跳表的函数是一个福利函数，可以让我们更好地观察跳表的样子。

void SkiplistPrint()
{Skiplist sl;//int a[] = { 5, 2, 3, 8, 9, 6, 5, 2, 3, 8, 9, 6, 5, 2, 3, 8, 9, 6 };int a[] = { 5, 2, 3, 8, 9, 6 , 10, 1 };for (auto e : a){sl.add(e);}sl.Print();
}

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完整代码

#pragma once
#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;
#include <time.h>
#include <random>
#include <chrono>struct SkiplistNode
{int _val;vector<SkiplistNode*> _nextV;SkiplistNode(int val, size_t level): _val(val), _nextV(level, nullptr){}
};class Skiplist
{typedef SkiplistNode Node;
public:Skiplist(){// 哨兵位头节点的层数是最多的// 初始状态哨兵位的层数给为1_head = new Node(-1, 1);}bool search(int target){Node* cur = _head;int level = _head->_nextV.size() - 1;while (level >= 0){// 下一个节点的值比target小,向右走// 下一个节点为空或者下一个节点的值比target大,向下一层走if (cur->_nextV[level] && cur->_nextV[level]->_val < target)cur = cur->_nextV[level];   // 向右走else if (cur->_nextV[level] == nullptr || cur->_nextV[level]->_val > target)--level;    // 向下一层走elsereturn true;    // 找到了}return false;   // 没找到}void add(int num){vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num);int n = RandomLevel();Node* newNode = new Node(num, n);// 如果n超过当前的最大层数,那么就需要升高_head的层数if (n > _head->_nextV.size()){_head->_nextV.resize(n, nullptr);prevV.resize(n, _head);}// 链接前后节点for (size_t i = 0; i < n; ++i){newNode->_nextV[i] = prevV[i]->_nextV[i];prevV[i]->_nextV[i] = newNode;}}bool erase(int num){vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num);// 第0层下一个不是num,则num不在表中if (prevV[0]->_nextV[0] == nullptr || prevV[0]->_nextV[0]->_val != num)return false;// num在表中Node* del = prevV[0]->_nextV[0];// del节点每一层的前后指针链接起来for (size_t i = 0; i < del->_nextV.size(); ++i){prevV[i]->_nextV[i] = del->_nextV[i];}// 如果删除的是层数最高的节点,需要将_head的层数降一下int i = _head->_nextV.size() - 1;while (i >= 0){// _head->_nextV[i]指向空,说明删除的节点是层数最高的if (_head->_nextV[i] == nullptr)--i;elsebreak;}_head->_nextV.resize(i + 1);return true;    // 删除成功}void Print(){/*int level = _head->_nextV.size();for (int i = level - 1; i >= 0; --i){Node* cur = _head;while (cur){printf("%d->", cur->_val);cur = cur->_nextV[i];}printf("\n");}*/Node* cur = _head;while (cur){printf("%2d\n", cur->_val);// 打印每个每个cur节点for (auto e : cur->_nextV){printf("%2s", "↓"); // 有几个箭头就说明该节点有几层}printf("\n");cur = cur->_nextV[0];}}private:vector<Node*> FindPrevNode(int num){Node* cur = _head;int level = _head->_nextV.size() - 1;// 插入节点所在位置每一层的前一个节点指针vector<Node*> prevV(level + 1, _head);while (level >= 0){// 下一个节点的值比num下,向右走// 下一个节点为空或者下一个节点的值大于等于num,向下走if (cur->_nextV[level] && cur->_nextV[level]->_val < num)cur = cur->_nextV[level];   // 向右走else if (cur->_nextV[level] == nullptr || cur->_nextV[level]->_val >= num){// 更新level层的前一个节点指针prevV[level] = cur;// 向下走--level;}}return prevV;}int RandomLevel(){size_t level = 1;// rand() ->[0, RAND_MAX]之间while (rand() <= RAND_MAX * _p && level < maxLevel){++level;}return level;}/*int RandomLevel(){// default_random_engine和uniform_real_distribution都是类型// 只需要生成一个对象就行了,distribution会均匀地产生0到1的小数static std::default_random_engine generator(std::chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count());static std::uniform_real_distribution<double> distribution(0.0, 1.0);size_t level = 1;while (distribution(generator) <= _p && level < maxLevel){++level;}return level;}*/private:Node* _head; // 哨兵位头节点double _p = 0.25;   // 增加一层的概率size_t maxLevel = 32;   // 最高的层数
};// 测试随机数产生得是否均匀
void RandomTest()
{size_t count1 = 0;double _p = 0.25;for (size_t i = 0; i < 1000000; ++i){if (rand() < RAND_MAX * _p)++count1;}cout << count1 << endl;unsigned seed = std::chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count();std::default_random_engine generator(seed);std::uniform_real_distribution<double> distribution(0.0, 1.0);size_t count2 = 0;for (int i = 0; i < 1000000; ++i){if (distribution(generator) <= 0.25)++count2;}cout << count2 << endl;
}void SkiplistPrint()
{Skiplist sl;//int a[] = { 5, 2, 3, 8, 9, 6, 5, 2, 3, 8, 9, 6, 5, 2, 3, 8, 9, 6 };int a[] = { 5, 2, 3, 8, 9, 6 , 10, 1 };for (auto e : a){sl.add(e);}sl.Print();
}

👉skiplist跟平衡搜索树和哈希表的对比👈

  1. skiplist 相比平衡搜索树(AVL 树和红黑树)对比，都可以做到遍历数据有序，时间复杂度也差不多。skiplist 的优势是：a、skiplist 实现简单，容易控制。平衡树增删查改遍历都更复杂。b、skiplist 的额外空间消耗更低。平衡树节点存储每个值有三叉链，平衡因子或者颜色等消耗。skiplist 中 p = 1 / 2 时，每个节点所包含的平均指针数目为 2；skiplist 中 p = 1 / 4 时，每个节点所包含的平均指针数目为 1.33；
  2. skiplist 相比哈希表而言，就没有那么大的优势了。相比而言，a、哈希表平均时间复杂度是 O(1)，比 skiplist快。b、哈希表空间消耗略多一点。skiplist 优势如下：a、遍历数据有序。b、skiplist 空间消耗略小一点，哈希表存在链接指针和表空间消耗。c、哈希表扩容有性能损耗。d、哈希表在极端场景下哈希冲突高，效率下降厉害，需要红黑树补足接力。

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👉总结👈

本篇博客主要讲解了什么是跳表，如何保证跳表的效率，跳表的实现以及跳表跟平衡搜索树和哈希表的对比等。那么以上就是本篇博客的全部内容了，如果大家觉得有收获的话，可以点个三连支持一下！谢谢大家！💖💝❣️


http://www.ppmy.cn/news/22013.html

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