基本概念

在学习拉普拉斯定理之前，先介绍几个重要概念,第一个概念是k阶子式。k-阶子式是指挑选矩阵的k行，k列，按原来的顺序组成的子矩阵的行列式，记号比较复杂，我举个例子，第 $1, 3, 5$ 行和第 $1, 2, 4$ 列组成的3-阶子式就记为：
$A(1,3,51,2,4)=∣a11a12a14a31a32a34a51a52a54∣A\begin{pmatrix}1,3,5\\1,2,4\end{pmatrix}= \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{14}\\ a_{31} & a_{32} & a_{34}\\ a_{51} & a_{52} & a_{54} \end{vmatrix}$
k-阶余子式，就是取反操作，删除对应行和对应列，剩余的矩阵元素，按照位置不变形成的子矩阵的行列式，比如对于5-阶矩阵来说， $1, 3, 5$ 行和第 $1, 2, 4$ 列的余子式就是 $A(2,43,5)A\begin{pmatrix}2,4\\3,5\end{pmatrix}$ .
剩下一个概念就是代数余子式，是余子式根据行索引和列索引加起来的奇偶性来判断，奇数为负的余子式，偶数为正的余子式。

拉普拉斯定理

拉普拉斯定理提供了一种计算 $n$ 阶行列式的办法。就是按k行或k列展开。它的算法第一步就是先求n的全部k种组合，然后求这k行和所有k种列组合的子式与代数余子式的乘积，把这些乘积加起来就是行列式。
公式描述比较麻烦，我以五阶矩阵按第一和第二行展开为例子，讲讲怎么计算。
首先求所有五阶矩阵取两列的所有的列组合，得出以下10种：
$(1,2),(1,3),(1,4),(1,5)(2,3),(2,4),(2,5)(3,4),(3,5)(4,5)(1,2),(1,3),(1,4),(1,5)\\ (2,3),(2,4),(2,5)\\ (3,4),(3,5)\\ (4,5)\\$
那么展开就是：
$∣A∣=A(1,21,2)×A(3,4,53,4,5)+A(1,21,3)×(−1)A(3,4,52,4,5)+A(1,21,4)×A(3,4,52,3,5)+A(1,21,5)×(−1)A(3,4,52,3,4)+A(1,22,3)×A(3,4,51,4,5)+A(1,22,4)×(−1)A(3,4,51,3,5)+A(1,22,5)×A(3,4,51,3,4)+A(1,23,4)×A(3,4,51,2,5)+A(1,23,5)×(−1)A(3,4,51,2,4)+A(1,24,5)×A(3,4,51,2,3)|A|=A\begin{pmatrix}1,2\\1,2\\\end{pmatrix} \times A\begin{pmatrix}3,4,5\\3,4,5\end{pmatrix}\\ +A\begin{pmatrix}1,2\\1,3\\\end{pmatrix} \times (-1)A\begin{pmatrix}3,4,5\\2,4,5\end{pmatrix}\\ +A\begin{pmatrix}1,2\\1,4\\\end{pmatrix} \times A\begin{pmatrix}3,4,5\\2,3,5\end{pmatrix}\\ +A\begin{pmatrix}1,2\\1,5\\\end{pmatrix} \times (-1)A\begin{pmatrix}3,4,5\\2,3,4\end{pmatrix}\\ +A\begin{pmatrix}1,2\\2,3\\\end{pmatrix} \times A\begin{pmatrix}3,4,5\\1,4,5\end{pmatrix}\\ +A\begin{pmatrix}1,2\\2,4\\\end{pmatrix} \times (-1)A\begin{pmatrix}3,4,5\\1,3,5\end{pmatrix}\\ +A\begin{pmatrix}1,2\\2,5\\\end{pmatrix} \times A\begin{pmatrix}3,4,5\\1,3,4\end{pmatrix}\\ +A\begin{pmatrix}1,2\\3,4\\\end{pmatrix} \times A\begin{pmatrix}3,4,5\\1,2,5\end{pmatrix}\\ +A\begin{pmatrix}1,2\\3,5\\\end{pmatrix} \times (-1)A\begin{pmatrix}3,4,5\\1,2,4\end{pmatrix}\\ +A\begin{pmatrix}1,2\\4,5\\\end{pmatrix} \times A\begin{pmatrix}3,4,5\\1,2,3\end{pmatrix}\\$
再具体以实际的矩阵展开，还是以 $5×55\times 5$ 的矩阵为例子：
$∣2241−1−1−2−3−44−2312−23−43−2−44−43−4−1∣=∣22−1−2∣×∣12−23−2−43−4−1∣+∣24−1−3∣×(−1)∣32−2−4−2−4−4−4−1∣+∣21−1−4∣×∣31−2−43−4−43−1∣+∣2−1−14∣×(−1)∣312−43−2−43−4∣+∣24−2−3∣×∣−22−23−2−44−4−1∣+∣21−2−4∣×(−1)∣−21−233−443−1∣+∣2−1−24∣×∣−21233−243−4∣+∣41−3−4∣×∣−23−23−4−44−4−1∣+∣4−1−34∣×(−1)∣−2323−4−24−4−4∣+∣1−1−44∣×∣−2313−434−43∣=58\begin{vmatrix}2 & 2 & 4 & 1 & -1\\ -1 & -2 & -3 & -4 & 4\\ -2 & 3 & 1 & 2 & -2\\ 3 & -4 & 3 & -2 & -4\\ 4 & -4 & 3 & -4 & -1\\ \end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix}2 & 2\\ -1 & -2\\ \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix}1 & 2 & -2\\ 3 & -2 & -4\\ 3 & -4 & -1\\ \end{vmatrix} \\+\begin{vmatrix}2 & 4\\ -1 & -3\\ \end{vmatrix} \times (-1)\begin{vmatrix}3 & 2 & -2\\ -4 & -2 & -4\\ -4 & -4 & -1\\ \end{vmatrix} \\+\begin{vmatrix}2 & 1\\ -1 & -4\\ \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix}3 & 1 & -2\\ -4 & 3 & -4\\ -4 & 3 & -1\\ \end{vmatrix} \\+\begin{vmatrix}2 & -1\\ -1 & 4\\ \end{vmatrix} \times (-1)\begin{vmatrix}3 & 1 & 2\\ -4 & 3 & -2\\ -4 & 3 & -4\\ \end{vmatrix} \\+\begin{vmatrix}2 & 4\\ -2 & -3\\ \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix}-2 & 2 & -2\\ 3 & -2 & -4\\ 4 & -4 & -1\\ \end{vmatrix} \\+\begin{vmatrix}2 & 1\\ -2 & -4\\ \end{vmatrix} \times (-1)\begin{vmatrix}-2 & 1 & -2\\ 3 & 3 & -4\\ 4 & 3 & -1\\ \end{vmatrix} \\+\begin{vmatrix}2 & -1\\ -2 & 4\\ \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix}-2 & 1 & 2\\ 3 & 3 & -2\\ 4 & 3 & -4\\ \end{vmatrix} \\+\begin{vmatrix}4 & 1\\ -3 & -4\\ \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix}-2 & 3 & -2\\ 3 & -4 & -4\\ 4 & -4 & -1\\ \end{vmatrix} \\+\begin{vmatrix}4 & -1\\ -3 & 4\\ \end{vmatrix} \times (-1)\begin{vmatrix}-2 & 3 & 2\\ 3 & -4 & -2\\ 4 & -4 & -4\\ \end{vmatrix} \\+\begin{vmatrix}1 & -1\\ -4 & 4\\ \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix}-2 & 3 & 1\\ 3 & -4 & 3\\ 4 & -4 & 3\\ \end{vmatrix}\\=58$
通过上面两个实际例子，就更容易理解拉普拉斯定理了。

Python实现

对于线性代数里学到的东西，我习惯性地用python实验一下，以下是我的python代码：

    def laplace(self, rows):k = len(rows)n = len(self.__vectors)import com.youngthing.mathalgorithm.combinatorics.binomial_combination_tree as bctindices = [i for i in range(n)]combinations = bct.combinations(indices, k)rows_sum = sum(rows)result = 0remain_rows = [x for x in indices if x not in rows]for combination in combinations:# 子式subdeterminant = self.subdeterminant(rows, combination)# 代数余子式的符号columns_sum = sum(combination)even = (rows_sum + columns_sum) & 1 == 0# 余子式remain_columns = [x for x in indices if x not in combination]minor = self.subdeterminant(remain_rows, remain_columns)if even:result += subdeterminant * minorelse:result -= subdeterminant * minorreturn resultdef subdeterminant(self, rows, columns):array = [[self.__vectors[column][row] for row in rows] for column in columns]matrix = Matrix(array)return matrix.cofactor_expansion()