学习资料：bilibili 西湖大学赵世钰老师的【强化学习的数学原理】课程。链接：强化学习的数学原理 西湖大学 赵世钰

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一、该方法的基本思路

In this lecture, we will move

• from value-based methods to policy-based methods
• from value function approximation to policy function approximation

以前介绍的方法都是value-based，这次课和下次课所介绍的方法都是policy-based。value-based的方法以value为核心，比如以前有的方法通过估计action value做policy evaluation，然后在此基础上去选择更好的策略，在此过程中value发挥了重要的作用。policy-based方法直接建立一个关于策略的目标函数，通过优化这个目标函数就可以直接得到最优的策略。

在之前，策略的表示是用表格呈现的。要想知道状态$s_1$下选择动作$a_1$的概率，直接去查表$\pi (a_1|s_1)$就行。

下面，尝试把策略的表示方法从表格转换成函数。其中$\theta$是参数。
（1）这个函数可以是神经网络的形式。输入是状态$s$，输出是采取动作action的概率，神经网络的参数是$\theta$。
（2）用函数表达的优点是：存储空间小、泛化性强。（和前面value function approximation类似，不再分析）
（3）函数的表达形式可能有多种，也可以写成$\pi (a,s,\theta )$、${\pi }_{\theta }(a|s)$或者${\pi }_{\theta }(a,s)$。

表格和函数表示的区别有哪些？
1. 定义最优策略的方法有差别
在表格情况下，如果在策略$\pi$下，每个状态的state value都要大于其他策略，那这个策略就是最优策略。在函数情况下，会定义一个标量的目标函数scalar metrics，并去优化这个目标函数。

2.获取一个动作的概率的方法有差别
在表格情况下，查表即可。在函数情况下，需要输入到神经网络计算$\pi (a|s,\theta )$。

2.更新策略的方法有差别
在表格的情况下，直接修改表格里的值就行。在函数情况下，需要去修改参数$\theta$。

policy gradient的基本思路：
（1）用一个函数$J(\theta )$来定义最优策略。
（2）用梯度上升法来优化函数，使$J(\theta )$最大化。

二、该方法的目标函数1-Average value

我们所选中的目标函数是什么？
第一类目标函数是average state value，或者被称作average value。函数的定义如下图所示。实际上就是对$v_{\pi }(s)$的加权平均，$d(s)$是权重，所有$d(s)$加起来等于1。${\bar{v}}_{\pi }$是一个关于策略的函数，策略不同，${\bar{v}}_{\pi }$对应的值也不同。因此需要找到一个最优的策略，让这个值达到最大。$d(s)$也可以被当做一个概率分布。

${\bar{v}}_{\pi }$也可以被写成向量乘积的形式，如下图所示。

${\bar{v}}_{\pi }$中，如何去选择distribution d呢？ 有两种情况。
第一种情况：distribution d和策略$\pi$是独立的。
在这种情况下，求${\bar{v}}_{\pi }$梯度就会变得简单，因为d中不含$\pi$，只有$v_{\pi }$中含有$\pi$。在这种情况下，把$d$表示为$d_0$，${\bar{v}}_{\pi }$表示为${\bar{v}}_{\pi }^0$。
如何选择$d_0$？
（1）假设每个状态都是同等重要。

（2）我们只关注某一个特定的状态，就把这个状态的权重赋值为1，其他状态的权重赋值为0

第二种情况：distribution d和策略$\pi$不是独立的。
这里用stationary distribution的方法去选择d作为$d_{\pi }(s)$。stationary distribution在上节课中也有提到，简单说就是，现在有一个策略，根据这个策略不断地和环境进行交互，执行这个策略很多次之后，就可以预测，agent在某一个状态的概率是多少。并且这个概率能够直接通过下面这个式子计算出来（知道$P_{\pi }$之后，可以求解出$d_{\pi }^T$）。

二、该方法的目标函数2-Average reward

第二种目标函数是average one-step reward，或者被简单称作average reward。
下面这个式1就是目标函数，和上一节的差异就是$v_{\pi }(s)$变成了$r_{\pi }(s)$，$r_{\pi }(s)$是从s出发所得到的immediate reward的平均值。$d_{\pi }(s)$是对应的权重，这里所用的是stationary distribution。式1也可以被展开成式2、式3的形式。

下面给出average reward的另外一种形式。这种形式在论文和书籍中比较常见。
基于给定策略生成了一个trajectory，这个trajectory 包含$(R_{t+1},R_{t+2},...)$。假设从状态$s_0$出发，把所有这些$R$加起来
求期望，再除以n（平均），再将n趋于无穷大取极限。这就代表着从某一个状态出发跑无穷多步，其reward的平均是什么。

又可以写成下面的形式（去掉了$s_0$，因为跑了无穷多步之后，从哪里出发已经不重要了），这个形式和本节中一开始给出的形式是等价的。

一些补充：

• 所有这些目标函数都是关于策略$\pi$的函数。
• 策略$\pi$的参数都是$\theta$，所以它是关于$\theta$的函数。
• 希望找到最优的$\theta$值来最大化目标函数，从而得到最好的策略$\pi$。
• ${\bar{r}}_{\pi }$和${\bar{v}}_{\pi }$分别是两个不同的目标函数，这两个函数满足下面这个等式，对其中一个函数做优化的时候，另外一个函数也会达到极值。

三、目标函数的梯度计算

本节的任务是，给定目标函数，计算其梯度。梯度求解结果如下：

下面对梯度求解结果进行分析。如下图所示，求解结果可以把求和符号全都去掉，改成expectation的形式。其中，S、A是随机变量，S满足$\eta$的分布，A满足$\pi (A|S,$theta$)$的分布。下面就可以用这个expectation形式的梯度去做优化。

下图给出了上面等式的证明过程。


上面公式中有一个$ln\pi (a|s,\theta )$，对数的存在要求$\pi (a|s,\theta )$一定要大于0。因此使用softmax函数将向量归一化，这样就不会存在负值的情况了。引入softmax后，$\pi (a|s,\theta )$可以写成如下图所示的形式，其中$h(s,a,\theta )$是另外一个函数，这个函数通常是一个神经网络。

用神经网络来实现时，输入的参数是状态$s$，输出的结果是$\pi (a_1|s,\theta )$到$\pi (a_n|s,\theta )$。

四、梯度上升算法和REINFORCE

梯度上升方法的计算公式如下图所示，公式中有一个期望，这就涉及到一些分布的信息，这些信息我们是不知道的，所以无法求出，因此使用随机梯度上升来代替真实的梯度。

不过，在上面这个式子中，$q_{\pi }(s_t,a_t)$也是不知道的。所以对其进行近似/采样，把$q_{\pi }(s_t,a_t)$换成$q_t(s_t,a_t)$。
第一种方法是基于蒙特卡洛的方法，要估计$q_t(s_t,a_t)$，那么就从(s,a)出发，收集一个episode的return，把这个return用来近似$q_t(s_t,a_t)$。这个方法叫REINFORCE，后面会详细讲。
第二种方法是TD的方法，下节课会详细讲。

下面补充 几个说明：
1.如何去做采样?
梯度公式中涉及的随机变量是S和A，所以对S和A进行采样。
如何采样S？ S服从分布d，这个分布本来是经过很长的时间，达到平稳状态，再去用这个数据。但是在实际使用中，一般不太考虑，因为耗费的时间有点长。
如何采样A？ A服从分布$\pi (A|S,\theta )$。所以，应当根据当前的策略$\pi$去采样。

2.如何去理解这个算法？
梯度上升算法可以被改写成如下图所示的形式。这么一看呢，我们这个计算过程其实是在优化$\pi (a_t|s_t,{\theta }_t)$。

当${\beta }_t>0$的时候，选择$(s_t,a_t)$的概率增加了；反之，选择$(s_t,a_t)$的概率减小了。

${\beta }_t>0$的作用是能够在exploration和exploitation之间取得一个较好的平衡。
如果$q_t(s_t,a_t)$的是比较大的，那么选择$(s_t,a_t)$的概率会增大。算法倾向于提高已经比较好的动作的概率。（exploitation）
如果$\pi (a_t|s_t,{\theta }_t)$是比较小的，那么选择$(s_t,a_t)$的概率会增大。算法倾向于对低概率的动作再探索探索。（exploration）

下面给出了REINFORCE算法。该算法是最早的，也是最简单的一个policy gradient算法。

这是reinforce的伪代码。