《机器学习数学基础》补充资料：仿射变换

本文是对《机器学习数学基础》第 2 章 2.2.4 节齐次坐标系的内容拓展。

1. 名称的来源

仿射，是英文单词 affine 的中文翻译。

单词 affine，读音：[ə’faɪn]。来自于英语 affinity。英语词根 fin 来自于拉丁语 finis，表示“边界，末端”，例如finish、final 等单词。词头 ad 表示“去，往”，拼出名词 affinity，本意为“接壤，结合”，用来指“姻亲，由于婚姻而产生的亲戚关系”，引申为“亲密关系，相似性”等 $^{[1]}$ 。

中文名称“仿射”，有一种观点是音译，来自“affine geometry”中的“fine”和“geo”两部分，于是“仿射几何”就翻译出来了 $^{[2]}$ 。

2. 变换

对于几何图形，经常会有一些平移、旋转、缩放等形式的变换，如下图所示 $^{[3]}$ ：
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平移，translation
旋转，rotation

平移和旋转，图形的形状（面积或体积）不变，也称为刚体变换（rigid transformation）或欧几里得变换（Euclidean transformation）。

缩放，scaling。如果每个坐标方向的缩放系数相同（即各向同性，isotropic），则为 uniform scaling
反射，reflection，关于某坐标轴对称。反射也可以看成是缩放的一个特例。

平移、旋转和各向同性的缩放，统称为相似变换（similarity transformation）。

剪切变换，shear mapping

下图显示了相似变换、线性变换的概念所涵盖的变换方式 $^{[4]}$ 。
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在线性代数中所研究的线性变换（参阅《机器学习数学基础》第2章2.2节），包括：

旋转
反射
剪切
各向同性或者不同性的缩放

以上变换的组合，也是线性变换。线性变换遵循着加法和乘法封闭原则，即：

$\begin{split}&L(p+q)=L(p)+L(q)\\&L(\alpha p)=\alpha L(p)\end{split}$
但是，平移不是线性变换（《机器学习数学基础》第 2 章 2.2.1 节）。如果将上述的线性变换与平移合并起来，则称为 affine transformation，翻译为仿射变换 $^{[4]}$ 。
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变换的范围还可继续扩大，那就是射影变换（projective transformation） $^{[4]}$ 。
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本文重点探讨仿射变换。

3. 仿射空间

仿射空间（affine space)，又称线性流形，是数学中的几何结构，这种结构是欧式空间的仿射特性的推广 $^{[5]}$ 。

在仿射空间中，点与点之间的差即为向量，点与向量的加法可以得到另一个点，但是点与点之间不可以相加。

仿射空间中没有特定的原点，因此不能将空间中的每一点和特定的向量对应起来。仿射空间中只有从一个点到另一个点的位移向量，或称平移向量。

如果 $\mathbb X$ 是仿射空间， $\pmb{a},\pmb{b}\in\mathbb{X}$ ，那么从 $\pmb{a}$ 到 $\pmb{b}$ 的位移向量为 $\pmb{b} − \pmb{a}$ 。

所有向量空间都可看作仿射空间。

若 $\mathbb{X}$ 是向量空间， $\pmb{L}\in\mathbb{X}$ 是向量子空间， $\pmb{a}\in\mathbb{X}$ ，则 $\pmb{a}+\pmb{L}=\{a+l:l\in\pmb{L}\}$ 是仿射空间。这里的 $\pmb{a}$ 也称为平移向量。

若向量空间 $\mathbb{X}$ 的维度是 $n\lt\infty$ ，那么 $\mathbb{X}$ 的仿射子空间也可看作一组非齐次线性方程的解；而齐次方程的解永远是线性子空间，也就是说齐次方程的解永远包含零解。维度为 $n - 1$ 的仿射空间也叫做仿射超平面。

4. 仿射变换

仿射变换（affine transformation），又称仿射映射，是对一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间。即：

$\pmb{y}=\pmb{Ax}+\pmb{b}$

平移变换不能用矩阵表示，为此使用齐次坐标系（《机器学习数学基础》第2章2.2.4节）。

4.1 仿射变换的性质

设 $f(\pmb{x})=\pmb{Ax}+\pmb{b}$ 是一个仿射变换，则 $f$ 具有：

直线到直线的映射
原来平行的直线变换之后仍然平行

证明

设直线 $l:\pmb{p}+t\pmb{u},t\in\mathbb{R}$ ，则：

$f(\pmb{p}+t\pmb{u})=\pmb{A}(\pmb{p}+t\pmb{u})+\pmb{b}=(\pmb{Ap}+\pmb{b})+t(\pmb{Au})=\pmb{p}_1+t\pmb{u}_1$
其中 $\pmb{p}_1=\pmb{Ap}+\pmb{b}$ ， $\pmb{u_1}=\pmb{Au}$ ，则 $f(l)=l_1, l_1:\pmb{p}_1+t\pmb{u}_1,t\in\mathbb{R}$ 仍然是直线。
设 $l:\pmb{p}+t\pmb{u}$ 和 $m:\pmb{q}+t\pmb{v}$ 是平行线，则 $\pmb{v}=k\pmb{u},k\in\mathbb{R}$ ，所以：

$\begin{split} f(\pmb{p}+t\pmb{u})&=\pmb{A}(\pmb{p}+t\pmb{u})+\pmb{b}=(\pmb{Ap}+\pmb{b})+t(\pmb{Au})=\pmb{p}_1+t\pmb{u}_1 \\ f(\pmb{q}+t\pmb{v})&=f(\pmb{q}+t(k\pmb{u}))\\&=\pmb{A}(\pmb{q}+t(k\pmb{u}))+\pmb{b}\\&=(\pmb{Aq}+\pmb{b})+t(\pmb{A}k\pmb{u)}\\&=\pmb{q}_1+t(k\pmb{u}_1) \end{split}$
故，变换之后所得 $l_1:\pmb{p}_1+t\pmb{u}_1$ 与 $m_1:\pmb{q}_1+t(k\pmb{u}_1)$ 仍然平行。

4.2 计算工具

如果对图形进行仿射变换，以下列举两个示例。

1. OpenCV

import cv2 
import numpy as np 
from matplotlib import pyplot as plt img = cv2.imread('headpic.png') 
rows, cols, ch = img.shape pts1 = np.float32([[50, 50], [200, 50],  [50, 200]]) pts2 = np.float32([[10, 100], [200, 50],  [100, 250]]) # 构造对应点变换矩阵
M = cv2.getAffineTransform(pts1, pts2) 
dst = cv2.warpAffine(img, M, (cols, rows)) plt.subplot(121) 
plt.imshow(img) 
plt.title('Input') plt.subplot(122) 
plt.imshow(dst) 
plt.title('Output') plt.show()