【作者主页】Francek Chen
【专栏介绍】$\lceil$PyTorch深度学习$\rfloor$ 深度学习 (DL, Deep Learning) 特指基于深层神经网络模型和方法的机器学习。它是在统计机器学习、人工神经网络等算法模型基础上，结合当代大数据和大算力的发展而发展出来的。深度学习最重要的技术特征是具有自动提取特征的能力。神经网络算法、算力和数据是开展深度学习的三要素。深度学习在计算机视觉、自然语言处理、多模态数据分析、科学探索等领域都取得了很多成果。本专栏介绍基于PyTorch的深度学习算法实现。
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  在【深度学习基础】线性神经网络 | 线性回归的简洁实现 中，我们发现通过深度学习框架的高级API能够使实现线性回归变得更加容易。同样，通过深度学习框架的高级API也能更方便地实现softmax回归模型。本节与在【深度学习基础】线性神经网络 | softmax回归的从零开始实现 中一样，继续使用Fashion-MNIST数据集，并保持批量大小为256。

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)

一、初始化模型参数

  如我们在【深度学习基础】线性神经网络 | softmax回归 所述，softmax回归的输出层是一个全连接层。因此，为了实现我们的模型，我们只需在Sequential中添加一个带有10个输出的全连接层。同样，在这里Sequential并不是必要的，但它是实现深度模型的基础。我们仍然以均值0和标准差0.01随机初始化权重。

# PyTorch不会隐式地调整输入的形状。因此，
# 我们在线性层前定义了展平层（flatten），来调整网络输入的形状
net = nn.Sequential(nn.Flatten(), nn.Linear(784, 10))def init_weights(m):if type(m) == nn.Linear:nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)net.apply(init_weights);

二、重新审视Softmax的实现

  在前面【深度学习基础】线性神经网络 | softmax回归的从零开始实现 的例子中，我们计算了模型的输出，然后将此输出送入交叉熵损失。从数学上讲，这是一件完全合理的事情。然而，从计算角度来看，指数可能会造成数值稳定性问题。

  回想一下，softmax函数$\begin{array}{r}{\hat{y}}_j=\frac{\exp (o_j)}{{\sum }_k\exp (o_k)}\end{array}$，其中${\hat{y}}_j$是预测的概率分布。$o_j$是未规范化的预测$\mathbf{o}$的第$j$个元素。如果$o_k$中的一些数值非常大，那么$\exp (o_k)$可能大于数据类型容许的最大数字，即上溢（overflow）。这将使分母或分子变为inf（无穷大），最后得到的是0、inf或nan（不是数字）的${\hat{y}}_j$。在这些情况下，我们无法得到一个明确定义的交叉熵值。

  解决这个问题的一个技巧是：在继续softmax计算之前，先从所有$o_k$中减去$\max (o_k)$。这里可以看到每个$o_k$按常数进行的移动不会改变softmax的返回值：
$$\begin{array}{rl}{\hat{y}}_j& =\frac{\exp (o_j-\max (o_k))\exp (\max (o_k))}{{\sum }_k\exp (o_k-\max (o_k))\exp (\max (o_k))}\\ & =\frac{\exp (o_j-\max (o_k))}{{\sum }_k\exp (o_k-\max (o_k))}\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

  在减法和规范化步骤之后，可能有些$o_j-\max (o_k)$具有较大的负值。由于精度受限，$\exp (o_j-\max (o_k))$将有接近零的值，即下溢（underflow）。这些值可能会四舍五入为零，使${\hat{y}}_j$为零，并且使得$\log ({\hat{y}}_j)$的值为-inf。反向传播几步后，我们可能会发现自己面对一屏幕可怕的nan结果。

  尽管我们要计算指数函数，但我们最终在计算交叉熵损失时会取它们的对数。通过将softmax和交叉熵结合在一起，可以避免反向传播过程中可能会困扰我们的数值稳定性问题。如下面的等式所示，我们避免计算$\exp (o_j-\max (o_k))$，而可以直接使用$o_j-\max (o_k)$，因为$\log (\exp (\cdot ))$被抵消了。
$$\begin{array}{rl}\log ({\hat{y}}_j)& =\log \left(\frac{\exp (o_j-\max (o_k))}{{\sum }_k\exp (o_k-\max (o_k))}\right)\\ & =\log (\exp (o_j-\max (o_k)))-\log \left(\sum _k\exp (o_k-\max (o_k))\right)\\ & =o_j-\max (o_k)-\log \left(\sum _k\exp (o_k-\max (o_k))\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

  我们也希望保留传统的softmax函数，以备我们需要评估通过模型输出的概率。但是，我们没有将softmax概率传递到损失函数中，而是在交叉熵损失函数中传递未规范化的预测，并同时计算softmax及其对数，这是一种类似"LogSumExp技巧"的聪明方式。

loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')

三、优化算法

  在这里，我们使用学习率为0.1的小批量随机梯度下降作为优化算法。这与我们在线性回归例子中的相同，这说明了优化器的普适性。

trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.1)

四、训练

  接下来我们调用【深度学习基础】线性神经网络 | softmax回归的从零开始实现 中定义的训练函数来训练模型。

num_epochs = 10
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)

  和以前一样，这个算法使结果收敛到一个相当高的精度，而且这次的代码比之前更精简了。

小结

• 使用深度学习框架的高级API，我们可以更简洁地实现softmax回归。
• 从计算的角度来看，实现softmax回归比较复杂。在许多情况下，深度学习框架在这些著名的技巧之外采取了额外的预防措施，来确保数值的稳定性。这使我们避免了在实践中从零开始编写模型时可能遇到的陷阱。