特征向量（Eigenvector）

特征向量（Eigenvector） 是线性代数中的一个重要概念，与矩阵的特征值（Eigenvalue）密切相关。它在许多数学、物理和机器学习领域中起着关键作用，尤其是在主成分分析（PCA）、奇异值分解（SVD）和网络图分析中。

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定义

对于一个 n×n 的矩阵 A，如果存在一个非零向量 v 和一个标量 λ，使得：

其中：

• v 是矩阵 A 的特征向量（Eigenvector）。
• λ 是与特征向量 v 相关联的特征值（Eigenvalue）。

特征向量 v 在矩阵 A 的作用下，方向保持不变，只有大小被特征值 λ 放大或缩小。

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性质

1. 非零性：特征向量 v 必须是非零向量。
2. 方向性：特征向量只定义方向，不定义大小，因此可以进行归一化处理。
3. 线性独立性：不同特征值对应的特征向量是线性独立的。

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几何解释

特征向量是矩阵 A 的变换下，其方向不改变的向量，而特征值表示变换后向量的伸缩因子。例如，在二维平面上，矩阵的特征向量可以看作是变换保持不变的主要轴。

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计算特征向量

1. 特征值的求解：
   根据特征值的定义，有 ，其中 是单位矩阵。
   解方程 ，可以求解特征值 λ。

2. 特征向量的求解：
   对于每个特征值 λ，求解 的解 v 即为对应的特征向量。

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应用

1. 主成分分析（PCA）
   PCA通过计算数据协方差矩阵的特征向量和特征值，找到数据主要变化方向的主成分。

2. 奇异值分解（SVD）
   特征向量用于分解矩阵，为降维、压缩和模式识别提供基础。

3. 图分析
   在网络图中，特征向量用于评估节点的重要性（如PageRank算法）。

4. 量子力学
   在量子力学中，特征向量用于描述状态空间中的基矢量。

5. 振动分析
   特征向量用于描述机械系统振动的模式。

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示例

Python 示例：计算矩阵的特征向量

python">import numpy as np# 定义矩阵
A = np.array([[4, 2],[1, 3]])# 计算特征值和特征向量
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)print("特征值:", eigenvalues)
print("特征向量:\n", eigenvectors)

运行结果 

特征值: [5. 2.]
特征向量:[[ 0.89442719 -0.70710678][ 0.4472136   0.70710678]]

 

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总结

特征向量是矩阵变换中保持方向不变的向量，它在许多机器学习算法和物理建模中起着基础性作用。理解特征向量及其性质，是掌握线性代数和机器学习的重要一步。