本文是将文章《PCA 原理推导》中的公式单独拿出来做一个详细的解析，便于初学者更好的理解。

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公式 $18\text{-}5$ 的内容如下：

$$\text{cov}(y_i,y_j)=a_i^T\Sigma a_j,i,j=1,2,\dots ,m$$

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解释公式 $18\text{-}5$

背景与意义

公式 $18\text{-}5$ 描述了通过线性变换生成的随机变量 $y_i$ 和 $y_j$ 的协方差关系。在主成分分析（PCA）中，这个公式用于衡量不同主成分之间的线性相关性。

主成分分析的目标是寻找一组新的坐标轴（即主成分），使得这些轴之间相互正交（线性无关），从而消除原始数据中不同特征之间的相关性。这一过程依赖于协方差公式来分析线性相关性。

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公式符号解析

1. $\text{cov}(y_i,y_j)$： 表示变换后随机变量 $y_i$ 和 $y_j$ 的协方差。协方差反映了两个变量之间的线性相关性。如果协方差为零，说明这两个变量是线性无关的。

2. $\Sigma$： 表示原始随机向量 $x$ 的协方差矩阵，定义为：
   $$\Sigma =\mathbb{E}[(x-\mu )(x-\mu {)}^T]$$

   它是一个 $m\times m$ 的对称矩阵，描述了原始数据的各个特征之间的线性关系。

3. $a_i,a_j$：
   表示用于线性变换的权重向量，分别定义了第 $i$ 和第 $j$ 个主成分的方向。

4. $a_i^T\Sigma a_j$：
   这是协方差矩阵 $\Sigma$ 的二次型形式，表示将协方差矩阵作用于两个方向 $a_i$ 和 $a_j$ 后得到的协方差值。

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公式推导

假设通过线性变换得到的随机变量为：
$$y_i=a_i^{T}x,y_j=a_j^{T}x$$

则 $y_i$ 和 $y_j$ 的协方差定义为：
$$\text{cov}(y_i,y_j)=\mathbb{E}[(y_i-\mathbb{E}(y_i))(y_j-\mathbb{E}(y_j))]$$

1. 代入 $y_i=a_i^{T}x$ 和 $y_j=a_j^{T}x$：
   $$\text{cov}(y_i,y_j)=\mathbb{E}[(a_i^{T}x-\mathbb{E}(a_i^{T}x))(a_j^{T}x-\mathbb{E}(a_j^{T}x))]$$

2. 利用期望的线性性质：
   由于 $a_i$ 和 $a_j$ 是常量向量，可以将其从期望符号内提取出来：
   $$\text{cov}(y_i,y_j)=a_i^T\mathbb{E}[(x-\mathbb{E}(x))(x-\mathbb{E}(x){)}^T]a_j$$

3. 协方差矩阵的定义：
   根据协方差矩阵的定义：
   $$\Sigma =\mathbb{E}[(x-\mathbb{E}(x))(x-\mathbb{E}(x){)}^T]$$

   将其代入上式：
   $$\text{cov}(y_i,y_j)=a_i^T\Sigma a_j$$

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几何意义

1. 协方差的几何解释：

   • 公式 $a_i^T\Sigma a_j$ 描述了原始数据 $x$ 在两个方向 $a_i$ 和 $a_j$ 上的投影之间的线性相关性。
   • 如果协方差为零，即 $\text{cov}(y_i,y_j)=0$，说明 $y_i$ 和 $y_j$ 是线性无关的（在 PCA 中，这对应于两个主成分是正交的）。

2. PCA 中的作用：

   • PCA 的目标是通过选择一组正交的 $a_i$ 和 $a_j$，使得变换后的主成分 $y_i$ 和 $y_j$ 的协方差为零（线性无关）。
   • 如果协方差不为零，说明 $y_i$ 和 $y_j$ 之间存在某种线性相关性，需要重新调整主成分方向以消除这种相关性。

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举例说明

假设数据 $x$ 是二维随机向量，其协方差矩阵为：
$$\Sigma =\left[\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 3\end{array}\right]$$

选择两个方向向量：
$$a_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],a_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$$

则 $y_1=a_1^{T}x$，$y_2=a_2^{T}x$，它们的协方差为：
$$\text{cov}(y_1,y_2)=a_1^T\Sigma a_2$$

计算过程：

1. 先计算 $\Sigma a_2$：
   $$\Sigma a_2=\left[\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]$$

2. 再计算 $a_1^T\Sigma a_2$：
   $$a_1^T\Sigma a_2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]=2$$

因此，$y_1$ 和 $y_2$ 的协方差为 $2$，说明它们之间存在相关性。

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公式 $18\text{-}5$ 的作用

1. 衡量主成分之间的相关性：
   公式提供了一种计算变换后随机变量之间协方差的方法。
2. 验证主成分的正交性：
   在 PCA 中，我们希望通过选择正交的方向向量 $a_i$ 和 $a_j$，使得协方差为零，从而消除主成分之间的相关性。
3. 数学基础：
   公式直接体现了协方差矩阵的作用，它描述了原始数据特征之间的相关性如何通过线性变换传播到新特征空间。

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总结

公式 $18\text{-}5$ 描述了主成分之间的协方差，它是主成分分析的核心之一。通过选择合适的方向向量 $a_i$ 和 $a_j$，PCA 可以确保主成分彼此正交（协方差为零），从而实现降维和特征去相关的目标。这一公式体现了线性代数中二次型和协方差矩阵的深刻联系。