齐次线性微分方程的解的性质与结构

news/2024/11/2 15:57:16/

内容来源

常微分方程(第四版) (王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松) 高等教育出版社


齐次线性微分方程定义

d n x d t n + a 1 ( t ) d n − 1 x d t n − 1 + ⋯ + a n − 1 ( t ) d x d t + a n ( t ) x = 0 \frac{\mathrm{d}^nx}{\mathrm{d}t^n}+ a_1(t)\frac{\mathrm{d}^{n-1}x}{\mathrm{d}t^{n-1}}+\cdots+ a_{n-1}(t)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+a_n(t)x=0 dtndnx+a1(t)dtn1dn1x++an1(t)dtdx+an(t)x=0

其中 a i ( t ) a_i(t) ai(t) a ⩽ t ⩽ b a\leqslant t\leqslant b atb 上的连续函数

符合以上条件的方程的解存在且唯一,即

对于任意 t 0 ∈ [ a , b ] t_0\in[a,b] t0[a,b] 及 任意的 x 0 , x 0 ( 1 ) , ⋯ , x 0 ( n − 1 ) x_0,x^{(1)}_0,\cdots,x^{(n-1)}_0 x0,x0(1),,x0(n1) 上式存在唯一解 x = φ ( t ) x=\varphi(t) x=φ(t) 定义与 a ⩽ t ⩽ b a\leqslant t\leqslant b atb 上,且满足初值条件

φ ( t 0 ) = x 0 , d φ ( t 0 ) d t n = x 0 ( 1 ) , ⋯ , d n − 1 φ ( t 0 ) d t n − 1 = x 0 ( n − 1 ) \varphi(t_0)=x_0,\frac{\mathrm{d}\varphi(t_0)}{\mathrm{d}t^n}=x^{(1)}_0, \cdots,\frac{\mathrm{d}^{n-1}\varphi(t_0)}{\mathrm{d}t^{n-1}}=x^{(n-1)}_0 φ(t0)=x0,dtndφ(t0)=x0(1),,dtn1dn1φ(t0)=x0(n1)

书上没有证明,只说类似一阶的情况

在初值条件给定的情况下才是唯一的

解的性质与结构

叠加原理

如果 x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , ⋯ , x k ( t ) x_1(t),x_2(t),\cdots,x_k(t) x1(t),x2(t),,xk(t) 是方程的 k k k 个解,则它们的线性组合

c 1 x 1 ( t ) + c 2 x 2 ( t ) + ⋯ + c k x k ( t ) c_1x_1(t)+c_2x_2(t)+\cdots+c_kx_k(t) c1x1(t)+c2x2(t)++ckxk(t)

也是方程的解,这里 c i c_i ci 是任意常数全为零不行吧

这个也没证明,只有两条提示:

“常数可以从微分号下提了出来”

“和的导数等于导数之和”

朗斯基(Wronsky)行列式

由定义在 a ⩽ t ⩽ b a\leqslant t\leqslant b atb 上的 k k k 个可微 k − 1 k-1 k1 次函数 x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , ⋯ , x k ( t ) x_1(t),x_2(t),\cdots,x_k(t) x1(t),x2(t),,xk(t) 所作成的行列式

W [ x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , ⋯ , x k ( t ) ] ≡ W ( t ) ≡ ∣ x 1 ( t ) x 2 ( t ) ⋯ x k ( t ) x 1 ′ ( t ) x 2 ′ ( t ) ⋯ x k ′ ( t ) ⋮ ⋮ ⋮ x 1 ( k − 1 ) ( t ) x 2 ( k − 1 ) ( t ) ⋯ x k ( k − 1 ) ( t ) ∣ W[x_1(t),x_2(t),\cdots,x_k(t)]\equiv W(t)\equiv \left|\begin{matrix} x_1(t)&x_2(t)&\cdots&x_k(t)\\ x'_1(t)&x'_2(t)&\cdots&x'_k(t)\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x^{(k-1)}_1(t)&x^{(k-1)}_2(t)&\cdots&x^{(k-1)}_k(t)\\ \end{matrix}\right| W[x1(t),x2(t),,xk(t)]W(t) x1(t)x1(t)x1(k1)(t)x2(t)x2(t)x2(k1)(t)xk(t)xk(t)xk(k1)(t)

称为这些函数的朗斯基行列式

用途
  1. 若函数 x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , ⋯ , x n ( t ) x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t) x1(t),x2(t),,xn(t) a ⩽ t ⩽ b a\leqslant t\leqslant b atb 上线性相关,则在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上它们的朗斯基行列式 W ( t ) ≡ 0 W(t)\equiv0 W(t)0

  2. 如果方程的解 x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , ⋯ , x n ( t ) x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t) x1(t),x2(t),,xn(t) a ⩽ t ⩽ b a\leqslant t\leqslant b atb 上线性无关,则 W [ x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , ⋯ , x n ( t ) ] W[x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t)] W[x1(t),x2(t),,xn(t)] 在这个区间上的任何点上都不等于零

注意,第一点的逆定理一般不成立

证明1

由线性相关的假设,存在一组不全为零的常数 c 1 , c 2 , ⋯ , c n c_1,c_2,\cdots,c_n c1,c2,,cn ,使得

c 1 x 1 ( t ) + c 2 x 2 ( t ) + ⋯ + c n x n ( t ) ≡ 0 , a ⩽ t ⩽ b c_1x_1(t)+c_2x_2(t)+\cdots+c_nx_n(t)\equiv0,a\leqslant t\leqslant b c1x1(t)+c2x2(t)++cnxn(t)0,atb

将此恒等式依次对 t t t 求导

{ c 1 x 1 ′ ( t ) + c 2 x 2 ′ ( t ) + ⋯ + c n x n ′ ( t ) = 0 c 1 x 1 ′ ′ ( t ) + c 2 x 2 ′ ′ ( t ) + ⋯ + c n x n ′ ′ ( t ) = 0 ⋮ c 1 x 1 ( n − 1 ) ( t ) + c 2 x 2 ( n − 1 ) ( t ) + ⋯ + c n x n ( n − 1 ) ( t ) = 0 \begin{cases} c_1x'_1(t)+c_2x'_2(t)+\cdots+c_nx'_n(t)=0\\ c_1x''_1(t)+c_2x''_2(t)+\cdots+c_nx''_n(t)=0\\ \ \ \ \ \ \vdots\\ c_1x^{(n-1)}_1(t)+c_2x^{(n-1)}_2(t)+\cdots+c_nx^{(n-1)}_n(t)=0\\ \end{cases} c1x1(t)+c2x2(t)++cnxn(t)=0c1x1′′(t)+c2x2′′(t)++cnxn′′(t)=0     c1x1(n1)(t)+c2x2(n1)(t)++cnxn(n1)(t)=0

加上求导前的恒等式,构成齐次线性代数方程组

系数行列式就是 W [ x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , ⋯ , x n ( t ) ] W[x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t)] W[x1(t),x2(t),,xn(t)]

由线代理论可知,此方程组存在非零解,则它的系数行列式必须为零

证明2

用反证,假设存在某个 t 0 t_0 t0 使得 W ( t 0 ) = 0 W(t_0)=0 W(t0)=0

再次由线代理论知,上面的方程组一定有非零解 c 1 , c 2 , ⋯ , c n c_1,c_2,\cdots,c_n c1,c2,,cn

用叠加原理构造一个新解

x ( t ) ≡ c 1 x 1 ( t ) + c 2 x 2 ( t ) + ⋯ + c n x n ( t ) x(t)\equiv c_1x_1(t)+c_2x_2(t)+\cdots+c_nx_n(t) x(t)c1x1(t)+c2x2(t)++cnxn(t)

这个解满足初值条件

x ( t 0 ) = x ′ ( t 0 ) = ⋯ = x ( n − 1 ) ( t 0 ) = 0 x(t_0)=x'(t_0)=\cdots=x^{(n-1)}(t_0)=0 x(t0)=x(t0)==x(n1)(t0)=0

就是方程组的每一行

x = 0 x=0 x=0 显然也是方程满足以上初值条件的解

由解的唯一性知 x ( t ) ≡ 0 x(t)\equiv0 x(t)0 ,即

c 1 x 1 ( t ) + c 2 x 2 ( t ) + ⋯ + c n x n ( t ) ≡ 0 c_1x_1(t)+c_2x_2(t)+\cdots+c_nx_n(t)\equiv0 c1x1(t)+c2x2(t)++cnxn(t)0

c 1 , c 2 , ⋯ , c n c_1,c_2,\cdots,c_n c1,c2,,cn 不全为零,与 x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , ⋯ , x n ( t ) x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t) x1(t),x2(t),,xn(t) 线性无关的假设矛盾

结合以上两点和解的存在唯一性

n n n 阶齐次线性方程一定存在 n n n 个线性无关的解

通解结构

如果 x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , ⋯ , x n ( t ) x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t) x1(t),x2(t),,xn(t) 是方程的 n n n 个线性无关的解,则通解可表示为

x = c 1 x 1 ( t ) + c 2 x 2 ( t ) + ⋯ + c n x n ( t ) x=c_1x_1(t)+c_2x_2(t)+\cdots+c_nx_n(t) x=c1x1(t)+c2x2(t)++cnxn(t)

n n n 阶齐次线性微分方程的所有解构成一个 n n n 维线性空间

方程的一组 n n n 个线性无关解成为方程的一个基本解组

特别地,当 W ( t 0 ) = 1 W(t_0)=1 W(t0)=1 时称其为标准基本解组


http://www.ppmy.cn/news/1543906.html

相关文章

第16课 核心函数(方法)

掌握常用的内置函数及其用法。 数学类函数:abs、divmod、max、min、pow、round、sum。 类型转换函数:bool、int、float、str、ord、chr、bin、hex、tuple、list、dict、set、enumerate、range、object。 序列操作函数:all、any、filter、m…

同WiFi网络情况下,多个手机怎么实现不同城市的IP

在同一个WiFi网络下,所有设备通常都会共享同一个公网IP地址,因为它们连接到的是同一个路由器。要使多个手机显示为不同城市的IP地址,你需要使用以下方法: 更改网络设置 在手机的设置中,可以找到“无线和网络”或“网…

Chromium 中chrome.fontSettings扩展接口定义c++

一、chrome.fontSettings 使用 chrome.fontSettings API 管理 Chrome 的字体设置。 权限 fontSettings 要使用 Font Settings API,您必须在扩展程序中声明 "fontSettings" 权限 清单。例如: {"name": "My Font Settings E…

.NET Core WebApi第7讲:项目的发布与部署

一、理解 前端跟后端拿数据,然后在前端页面中展示,就是我们要完成的事情。 把前端跟后端开发好之后,我们需要落地部署,这个时候就需要一个服务器。 服务器就是一台电脑,只要windows里面有一个叫IIS的管理器。 二、项目…

基于 Python 的 Django 框架开发的电影推荐系统

项目简介:本项目是基于 Python 的 Django 框架开发的电影推荐系统,主要功能包括: 电影信息爬取:获取并更新电影数据。数据展示:提供电影数据的列表展示。推荐系统:基于协同过滤算法实现个性化推荐。用户系…

【Matlab】基础操作汇总

一、函数 1、定积分/不定积分函数:int int(f,[r,[x0,[x1]]]) f:所要积分的表达式; r:积分变量 若为定积分,则x0与x1为积分上下限。 2、求解非刚性微分方程:ode45 [t,y…

ctfshow文件包含web78~81

目录 web78 方法一:filter伪协议 方法二:input协议 方法三:data协议 web79 方法一:input协议 方法二:data协议 web80 方法一:input协议 方法二:日志包含getshell web81 web78 if(isset($_GET[file]…

论文阅读:MultiUI 利用网页UI进行丰富文本的视觉理解

《HARNESSING WEBPAGE UIS FOR TEXT-RICH VISUAL UNDERSTANDING》 利用网页UI进行丰富文本的视觉理解 总结 grounding和QA部分的数据集占比较大、同时消融实验显示其作用相对较大,并且grounding部分作用和效果呈现scaling正相关提供了很多web数据处理成多模态训练…