链式求导法则

链式求导法则（Chain Rule）是微积分中非常重要的法则，用于计算复合函数的导数。其基本思想是：如果一个变量依赖于另一个变量，而这个中间变量又依赖于另一个变量，那么可以通过链式法则把这些依赖关系串联起来，从而计算最终的导数。

链式法则的形式

假设有两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，并且想求复合函数 $f(g(x))$ 对 $x$ 的导数，链式法则表示为：

$$\frac{d}{dx}[f(g(x))]=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$$

用语言来描述：

• 先对内层函数 $g(x)$ 求导，
• 再对外层函数 $f(x)$ 在 $g(x)$ 的值上求导，
• 最后将两个导数相乘。

简单例子

考虑以下函数：

$$y=f(g(x))=(3x+2{)}^5$$

1. 设 $u=3x+2$，则原函数可以表示为 $y=u^5$。
2. 对 $u=3x+2$ 求导：$\frac{du}{dx}=3$。
3. 对 $y=u^5$ 求导：$\frac{dy}{du}=5u^4$。
4. 根据链式法则，有：
   $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}=5u^4\cdot 3=15(3x+2{)}^4$$

因此，复合函数 $(3x+2{)}^5$ 的导数为 $15(3x+2{)}^4$。

多变量情况

链式法则同样可以应用于多变量函数。假设有两个变量 $x$ 和 $y$ 分别依赖于另一个变量 $t$，此时链式法则的形式为：

$$z=f(x,y),x=x(t),y=y(t)$$

根据链式法则，有：

$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot \frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot \frac{dy}{dt}$$

这个公式表示：

• 先对 $f(x,y)$ 分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导数，
• 再乘以 $x$ 和 $y$ 对 $t$ 的导数，
• 最后将结果相加。

应用场景

链式求导法则在多个领域中有广泛应用，例如：

• 物理学：计算物理量随时间的变化率时，常涉及复合函数关系，如速度和加速度的关系。
• 经济学：求经济模型中的效用函数或生产函数的导数时，链式法则用于处理多变量依赖关系。
• 机器学习：在神经网络的反向传播算法中，链式法则被用来计算每个权重对损失函数的贡献。

链式法则是一种强大的工具，它使得处理复杂的函数关系变得简单和可行。