线性代数复习笔记

$|A|=\sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij}\ (i=1,2,...,n)=\sum_{i=1}^na_{ij}A_{ij}\ (j=1,2,...,n);\ A_ij=(-1)^{i+j}M_{ij}.$
$\sum_{j=1}^na_{ij}A_{kj}=\sum_{i=1}^na_{ij}A_{ik}=0,\ i\ne k.$
副对角线: $|B_n|=(-1)^\frac{n(n-1)}{2}\prod_{i=1}^nb_{i,n+1-i}$ .
范德蒙: $|D_n|=\prod_{1\leq j\leq i\leq n}(x_i-x_j)$ .

矩阵: $n\times n$ 方阵构成有零因子非交换环; 单位元 $∣ E ∣ = 1$ ; 零因子 $∣ Z ∣ = 0$ .
反对称: $a_{ij}+a_{ji}=0\implies a_{ii}=0$ .
转置: $a^T_{ij}=a_{ji}$ ; $A+B)^T=A^T+B^T$ ; $AB)^T=B^TA^T$ .
逆元: $AA^{-1}=A^{-1}A=E\iff |A|\ne 0$ ; $A^{-1}|=|A|^{-1}$ ; $A^{-1}=|A|^{-1}A^*$ ; $AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ .
$[A|E]\xrightarrow[]{\prod_{i=1}^kQ_k}[E|A^{-1}]$ .
伴随: $AA^*=A^*A=|A|E$ ; $A^*|=|A|^{n-1}$ ; $A^*=|A|A^{-1}$ ; $(A^*)^*=|A|^{n-2}A\ (n\geq 2)$ .
正交: $AA^T=A^TA=E\implies |A|=\pm 1$ , 行(列)向量均为单位向量并两两正交.

初等变换: 对换( $E_{ij}$ ); 倍乘( $E_i(k),\ k\ne 0$ ); 倍加( $E_{ij}(K)$ ); 左乘为行变换, 右乘为列变换.
$E_{ij}A|=|AE_{ij}|=-|A|$ ; $E_i(k)A|=|AE_i(k)|=k|A|$ ; $kA|=k^n|A|$ ; $E_{ij}(k)A|=|AE_{ij}(k)|=|A|$ .
等价: $A\cong B\iff\exists |P|,|Q|\ne 0$ s.t. $P A Q = B$ .

秩: 非零子式最大阶数; 极大线性无关组中向量个数.
$r(A)=0\iff A=O$ .
$r(A)=1\iff A\ne O$ 且任意两行(列)成比例.
$r(AA^T)=r(A^TA)=r(A)$ .
$r(A_n)<n\iff|A_n|=0\iff$ 不可逆 $\iff$ 有零特征值.
$r(A_n)=n\iff|A_n|\ne 0\iff$ 可逆 $\iff$ 无零特征值.
$r(A\pm B)\leq r(A)+r(B)$ ; $r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}$ ; $\max\{r(A),r(B)\}\leq r(A|B)\leq r(A)+r(B)$ .
$r(A_{m\times n})=n\implies r(AB)=r(B)$ .
$r(C_{n\times s})=n\implies r(BC)=r(B)$ .
$A\cong B\implies r(A)=r(B)$ .
$A_{m\times n}B_{n\times s}=O\implies r(A)+r(B)\leq n$ .
$r(A^*)=\begin{cases}n, & r(A)=n \\ 1, & r(A)=n-1 \\ 0, & r(A)<n-1\end{cases}$ .
$\bm{\alpha},\bm{\beta}\ne\bm{0}$ 为等维列向量 $\implies r(\bm{\alpha}\bm{\beta}^T)=1$ .

线性表出: $\{\bm{\alpha}_i\}_{i=1}^m$ , $\bm{\beta}$ , $\exists \{k_i\}_{i=1}^m$ s.t. $\bm{\beta}=\sum_{i=1}^m k_i\bm{\alpha}_i\iff r(\bm{\alpha}_i)_{i=1}^m=r(\{\bm{\alpha}_i\}_{i=1}^m|\beta)\iff(\bm{\alpha}_i)_{i=1}^m\bm{x}=\bm{\beta}$ 有解.
$r(A)=r(A|B)>r(B)\implies$ 向量组 $B$ 可由向量组 $A$ 线性表出, 向量组 $A$ 不可由向量组 $B$ 线性表出.
向量组 $A, B$ 可互相线性表出 $\iff A\cong B\iff r(A)=r(A|B)=r(B)$ .

线性无关: $\{\bm{\alpha}_i\}_{i=1}^m$ , 仅当 ${k_i\}_{i=1}^m=0$ 时才有 $\sum_{i=1}^m k_i\bm{\alpha}_i=\bm{0}\iff r(\bm{\alpha}_i)_{i=1}^m=m\iff (\bm{\alpha}_i)_{i=1}^m\bm{x}=\bm{0}$ 仅有零解.
全体组线性无关 $\implies$ 部分组线性无关.
缩短组线性无关 $\implies$ 延伸组线性无关.
向量组 $B_t$ 线性无关, 可由向量组 $A_s$ 线性表出 $\implies s\geq t$ .
向量组 $A$ 线性无关, 添加 $\bm{\beta}$ 后线性相关 $\implies\bm{\beta}$ 可由向量组 $A$ 线性表出且方式唯一.

$\bm{v}=A\bm{x}=B\bm{y}$ .
过渡矩阵: 基 $A$ 变换为基 $B$ , 有 $B = A P$ .
坐标变换: 坐标 $\bm{x}$ 变换为 $\bm{y}$ , 即 $\bm{y}=P^{-1}\bm{x}$ .
施密特正交化: $\bm{\beta}_1=\bm{\alpha}_1$ ; $\bm{\beta}_i=\bm{\alpha}_i-\sum_{j=1}^{r-1}\frac{[\bm{\alpha}_i,\bm{\beta}_j]}{[\bm{\beta}_j,\bm{\beta}_j]},\ i=2,3,...,r$ .
单位化: $\bm{\gamma}_i=\frac{\bm{\beta}_i}{||\bm{\beta}_i||},\ i=1,2,...,r$ .

$A\bm{x}=\bm{0}$ 仅有零解(唯一解) $\iff r(A)=n$ .
$A\bm{x}=\bm{0}$ 有非零解(无穷解) $\iff r(A)<n$ .
$A\bm{x}=\bm{b}$ 有唯一解 $\iff r(A)=r(A|\bm{b})=n$ .
$A\bm{x}=\bm{b}$ 有无穷解 $\iff r(A)=r(A|\bm{b})<n$ .
$A\bm{x}=\bm{b}$ 无解 $\iff r(A)<r(A|\bm{b})$ , 即 $r(A)=r(A|\bm{b})-1$ .

基础解系: $A\bm{x}=\bm{0}$ 的 $s = n - r (A)$ 个线性无关解 $\{\bm{\xi}_i\}_{i=1}^s$ ; 通解 $\bm{x}=\sum_{i=1}^sk_i\bm{\xi}_i$ .
$A\bm{x}=\bm{0}$ 的解的线性组合也为 $A\bm{x}=0$ 的解.
$\bm{\xi}$ 为 $A\bm{x}=0$ 的解, ${\eta}$ 为 $A\bm{x}=\bm{b}$ 的解 $\implies\bm{\eta}+k\bm{\xi}$ 为 $A\bm{x}=\bm{b}$ 的解.
$A\bm{x}=\bm{b}$ 的解的系数和为 $0$ 的线性组合为 $A\bm{x}=\bm{0}$ 的解; 系数和为 $1$ 的线性组合为 $A\bm{x}=\bm{b}$ 的解.

$A\bm{x}=\bm{0}$ 和 $B\bm{x}=\bm{0}$ 有非零公共解 $\implies r{A\choose B}<n$ .
$A\bm{x}=\bm{0}$ 的解均为 $B\bm{x}=\bm{0}$ 的解 $\implies r(A)\geq r(B)$ .
$A\bm{x}=\bm{0}$ 和 $B\bm{x}=\bm{0}$ 同解 $\implies r(A)=r(B)=r{A\choose B}$ .

$A^TA\bm{x}=\bm{0}$ 和 $A\bm{x}=\bm{0}$ 同解.
$AB\bm{x}=\bm{0}$ 和 $B\bm{x}=\bm{0}$ 同解; $A$ 为列满秩.
$A_n^n\bm{x}=\bm{0}$ 和 $A_n^{n+1}\bm{x}=\bm{0}$ 同解.

特征值: $A\bm{\alpha}=\lambda\bm{\alpha}$ ; $|A-\lambda E|=0$ .
正交矩阵特征值为 $\pm 1$ .
$f(A)=0\implies f(\lambda)=0$ .
特征向量: $(A-\lambda E)\bm{x}=0$ .
$k$ 重特征值至多有 $k$ 个线性无关的特征向量; 不同特征值对应的特征向量线性无关; 一个特征向量对应一个特征值; 全部线性无关的特征向量的线性组合也为该特征值的特征向量.

矩阵	特征值	特征向量
$A$	$\lambda$	$\bm{\alpha}$
$A + k E$	$\lambda+k$	$\bm{\alpha}$
$k A$	$k\lambda$	$\bm{\alpha}$
$A^k$	$\lambda^k$	$\bm{\alpha}$
$f (A)$	$f(\lambda)$	$\bm{\alpha}$
$A^{-1}$	$\frac{1}{\lambda}$	$\bm{\alpha}$
$A^*$	$\frac{\|A\|}{\lambda}$	$\bm{\alpha}$
$A^T$	$\lambda$	-
$P^{-1}AP$	$\lambda$	$P^{-1}\bm{\alpha}$

相似: $A\sim B\iff\exists|P|\ne 0$ s.t. $P^{-1}AP=B$ .
$A\sim B\implies |A-\lambda E|=|B-\lambda E|\implies A\cong B$ , ${\rm tr}(A)={\rm tr}(B)$ , $∣ A ∣ = ∣ B ∣$ , 各阶主子式之和分别相等.
$A_n\sim\Lambda\iff A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量, 此时 $P=(\bm{\alpha}_i)_{i=1}^n$ , $\Lambda=P^{-1}AP\iff A$ 的 $k$ 重特征根恰有 $k$ 个线性无关的特征向量, 即 $r(A-\lambda E)=n-k$ .
$A_n$ 有 $n$ 个不同的特征值 $\implies A\sim\Lambda$ .
$(A-\lambda_1 E)(A-\lambda_2 E)=O,\ \lambda_1\ne\lambda_2\implies A\sim\Lambda$ .

$A=P^{-1}\Lambda P\implies A^k=P^{-1}\Lambda^k P$ .
$A=(\lambda E+B)\implies A^k=\sum_{i=1}^k{k\choose i}\lambda^iB^{k-i}$ ; $B^j=O$ , $j\ll k$ .
$A=\bm{\alpha}\bm{\beta}^T\implies A^k=c^{k-1}A$ , $c=\bm{\beta}^T\bm{\alpha}$ .
$\lambda^n=|\lambda E-A|Q(\lambda)+R(\lambda)\implies A^n=R(A)$ .

$A$ 为实对称矩阵: $a_{ij}=a_{ji}\in\mathbb{R}$ ;
特征值均为实数;
不同特征值的特征向量正交;
$\exists$ 正交矩阵 $Q$ s.t. $Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\Lambda$ , 即可正交相似对角化;
$B$ 也为实对称矩阵, $A\sim B\implies \{\lambda_A\}=\{\lambda_B\}$ .

二次型: $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j=\bm{x}^TA\bm{x}$ ; $A$ 为实对称矩阵.
标准形: 只含平方项.
规范形: 只含平方项, 系数只能为 $0, 1, - 1$ .
正交变换: $\bm{x}=Q\bm{y}$ , 即 $Q^TAQ=\Lambda$ ; 正交矩阵 $Q=(\bm{\gamma}_{i=1}^n)$ 为 $A$ 特征向量的正交单位化.
配方换元: $\bm{x}=C\bm{y}$ , $C$ 为可逆矩阵.

惯性定理: 标准形正负系数个数(正负惯性指数)分别等于正负特征值个数, 数量和为矩阵秩.
合同: $A\simeq B\iff\exists |C|\ne 0$ s.t. $B=C^TAC\iff A,B$ 的正负惯性指数分别相等.

正定: $\forall \bm{x}\ne O$ s.t. $\bm{x}^TA\bm{x}>0$ .
$A_n$ 正定 $\iff$ 正惯性指数为 $n\iff$ 标准形平方项系数全为正 $\iff$ 特征值均大于 $0\iff$ 各阶顺序主子式均大于 $0\iff\exists |P|\ne 0$ s.t. $A=P^TP$ , 即 $A\simeq E\implies a_ii>0,\ i=1,2,...,n$ , $∣ A ∣ > 0$ .

线性代数复习笔记

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