前言
在信息安全数学基础中,欧拉函数(Euler's Totient Function)是一个非常重要的概念,它与模运算、剩余类、简化剩余系以及密码学中的许多应用紧密相关。欧拉函数用符号 φ(n) 表示,其中 n 是一个正整数。
一、定义
欧拉函数 φ(n) 定义为小于或等于 n 的正整数中与 n 互质的数的个数。换句话说,如果 n 是一个正整数,那么 φ(n) 就是模 n 的简化剩余系中元素的个数。
二、性质
- 基本性质:
- φ(1)=1,因为1与任何数都互质。
- 如果 n 是素数 p,则 φ(p)=p−1,因为除了1以外的所有小于 p 的正整数都与 p 互质。
- 积性性质:
- 其他性质:
- 如果 n=pk,其中 p 是素数,k 是正整数,则 φ(n)=pk−pk−1=pk−1(p−1)。这是因为除了 p 的倍数外,所有小于或等于 n 的正整数都与 n 互质。
- 对于任意正整数 n,都有 ∑d∣nφ(d)=n,其中 d∣n 表示 d 是 n 的正除数。这个性质是欧拉函数与除数函数的一个重要关系。
三、应用
四、计算方法
结语
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