非完全平方数的平方根是无理数

定义

• 完全平方数：一个整数的平方，如 $1,4,9,16$ 等。
• 非完全平方数：不是任何整数平方的正整数，如 $2,3,5,6,7,8,10$ 等。

命题

设 $n$ 是一个正整数，如果 $n$ 不是完全平方数，那么 $\sqrt{n}$ 是无理数。

证明

我们可以通过反证法来证明这一命题。

反证法

假设 $\sqrt{n}$ 是有理数，那么我们可以把它表示为两个互质整数 $p$ 和 $q$ 的比值，即：

$$\sqrt{n}=\frac{p}{q}$$

其中，$p$ 和 $q$ 互质，且 $q\ne 0$。

两边平方，得到：

$$n=\frac{p^2}{q^2}$$

即：

$$n\times q^2=p^2$$

这表明 $p^2$ 是 $n\times q^2$ 的整数倍。

注意到 $n$ 不是完全平方数，因此 $n$ 的质因数中至少有一个质因数的幂次是奇数。而 $p^2$ 是完全平方数，所以 $p^2$ 的所有质因数的幂次都是偶数。因此，$p^2$ 和 $n\times q^2$ 的质因数的幂次不可能匹配。这就导致 $n\times q^2$ 不是一个完全平方数，与 $p^2$ 是完全平方数的事实矛盾。

因此，假设 $\sqrt{n}$ 是有理数的前提是错误的。由此我们得出结论：非完全平方数的平方根是无理数。

结论

这个证明的方法展示了非完全平方数的平方根必定是无理数，因为如果它是有理数，会导致数论上的矛盾。