[HNOI2008]玩具装箱

题目描述

P 教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。

P 教授有编号为 $1\cdots n$ 的 $n$ 件玩具，第 $i$ 件玩具经过压缩后的一维长度为 $C_i$。

为了方便整理，P教授要求：

• 在一个一维容器中的玩具编号是连续的。

• 同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物。形式地说，如果将第 $i$ 件玩具到第 $j$ 个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 $x=j-i+\sum _{k=i}^j{C}_k$

制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为 $x$，其制作费用为 $(x-L{)}^2$。其中 $L$ 是一个常量。P 教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过 $L$。但他希望所有容器的总费用最小。

输入格式

第一行有两个整数，用一个空格隔开，分别代表 $n$ 和 $L$。

第 $2$ 到 第 $(n+1)$ 行，每行一个整数，第 $(i+1)$ 行的整数代表第 $i$ 件玩具的长度 $C_i$。

输出格式

输出一行一个整数，代表所有容器的总费用最小是多少。

样例 #1

样例输入 #1

5 4
3
4
2
1
4

样例输出 #1

1

提示

对于全部的测试点，$1\le n\le 5\times 10^4$，$1\le L\le 10^7$，$1\le C_i\le 10^7$

题解

这道题的许多题解都是用斜率优化DP做的，现在我给大家讲一下$1D/1D$动态规划中的决策单调性优化的方法来做这道题。

首先，我们可以很容易地求出这题的$1D/1D$的动态规划方程：

$f(i)=\underset{j=1}{\overset{i-1}{\min }}{f}_j+w_{j+1,i}$，其中$w_{i,j}=(j-i+\sum _{k=i}^j{c}_k-L{)}^2$

设$k(i)$表示状态$i$取到最优值时的决策，则

$\forall i\le j,k(i)\le k(j)$当且仅当：

$\forall i\le j,w_{i,j}+w_{i+1,j+1}\le w_{i+1,j}+w_{i,j+1}$

以上是有关四边形不等式的知识，大家可以自行学习，这里不再赘述。

根据计算，DP式中的$w$数组是满足上述条件的，所以$k(i-1)\le k(i)$。于是，在枚举$i$的时候，可以从$k(i-1)$开始枚举。但是，虽然减少了枚举次数，但在最坏情况下，时间复杂度还是$O(n^2)$的。

我们可以换一个角度，每得出一个$f(i)$，考虑$f(i)$能更新的状态有哪些。因为满足单调性，我们只需要找到第一个$f(i)$能更新的状态，那么从这个状态到最后一个状态$f(i)$都可以更新。

于是，我们可以用一个栈来维护数据。栈中的每个元素保存一个决策能更新到的起始位置和终止位置。当插入一个新位置时从栈中最后一个元素扫描，如果新决策能更新栈尾的决策的起始点，则将栈尾的元素删除出栈；如果不能更新，则在栈尾元素的起始位置和终止位置中二分查找第一个点$t$，使该点能够被新决策更新。栈尾决策的终止点改为$t$前一个点，新元素的起始点为$t$，终止点为最后一个点。

总时间复杂度为$O(nlogn)$

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,tp;
long long l,c[50005],sum[50005],f[50005];
struct node{int l,r,id;
}v[50005];
int find(int op){int l=1,r=tp,mid;while(l<=r){mid=(l+r)/2;if(op>v[mid].r) l=mid+1;else if(op<v[mid].l) r=mid-1;else if(op>=v[mid].l&&op<=v[mid].r) return v[mid].id;}return 0;
}
long long tw(long long a){return a*a;
}
long long w(int i,int j){return tw(j-i+sum[j]-sum[i-1]-l);
}
bool pd(int i,int j,int k){return f[i]+w(i+1,k)<f[j]+w(j+1,k);
}
void pt(int t){while(tp){if(v[tp].l>t&&pd(t,v[tp].id,v[tp].l)) --tp;else break;}int l=v[tp].l,r=v[tp].r,mid,ch=v[tp].r+1;while(l<=r){mid=(l+r)/2;if(pd(t,v[tp].id,mid)){ch=mid;r=mid-1;}else l=mid+1;}v[tp].r=ch-1;if(ch<=n) v[++tp]=(node){ch,n,t};
}
int main()
{scanf("%d%lld",&n,&l);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&c[i]);sum[i]=sum[i-1]+c[i];}v[++tp]=(node){1,n,0};for(int i=1;i<=n;i++){int j=find(i);f[i]=f[j]+w(j+1,i);pt(i);}printf("%lld",f[n]);
}