定义 1.1：在集合 V 上的一个单纯复合体（simplicial complex）是满足以下两个要求的非空子集合的集合 K：

• 对于 V 中的每个顶点 v，单点集合 {v} 属于 K，
• 如果 τ 属于 K 且σ⊂τ，则 σ 也必须属于 K。

在单纯复合体 K 中的非空子集合被称为 K 的单纯形（simplices）。单纯形σ 在 K 中的维数被定义为 dim σ=#σ−1,
其中#σ 表示 σ 中包含的顶点数（或者说顶点的基数）。因此，单点集合 {v} 都属于 K 并且维数为零，所有在 K 中的对 {v,v0​} 的单元对都具有维数为一，依此类推。单纯复合体 K 的维数由其构成的单纯形中的最大维数确定，即dim K=max{dim σ∣σ∈K}.

根据定义，K0就是顶点集合，上图左图所示，中间图也是一个单纯复合体，右图不是，因为13，是123的子集，但不在本集合中。

以下是一些更加激动人心的单纯复合体的例子：

• 图（Graphs）：一个（有限的、无向的、简单的）图是一个由顶点集合 V（其中的元素如前所述称为顶点）和一组由不同的顶点对组成的边集合 E⊆V×V 组成的对 (V,E)。每个图自动形成一个一维单纯复合体 K，其中 V=K0​ 且 E=K1​。

• 实心单纯形（Solid Simplices）：对于每个整数 k≥0，实心 k - 单纯形是定义在顶点集合{0,1,...,k} 上的单纯复合体 Δ(k)，其单纯形是所有可能的顶点子集。

• 空心单纯形（Hollow Simplices）：对于每个整数 k≥1，空心 k - 单纯形（hollow k-simplex）用符号∂Δ(k) 表示，定义与实心 k - 单纯形完全相同，只是我们舍弃了唯一的k+1 维单形 {v0​,...,vk​}。因此，∂Δ(k) 的维数为 k-1。