概述

本文是观看以下视频的笔记：
https://www.bilibili.com/video/BV1VP411u71p/?spm_id_from=333.788&

论文：Generative Modeling by Estimating Gradients of the Data Distribution (NeurIPS2019)

• 注意，这篇比DDPM更早

• likelihood-based methods对网络结构的设计有很大限制，但score-based只要输入输出维度一样就行了；

• gan就是太难train 了。在生成和判别之间要权衡。但咱们score-based就不用，就一个loss完事儿。

方法

• 定义score：对数概率的梯度
• 核心思路：之前的方法都是学习概率分布本身；现在我们学习score。这样我们就可以根据score指示的方向一步步走到正确的地方
  • 首先用某种方法估计出score
  • 然后，随机初始化噪声，然后按照score走一步；再走一步；迭代，组中走到正确的位置（走一步怎么走是根据郎之万动力学的公式）

怎么估计score（估计噪声就是估计score）

• 首先套用DDPM的噪声假设，$q\left({\mathbf{x}}_t\mid {\mathbf{x}}_0\right)\sim \mathcal{N}\left(\sqrt{{\bar{\alpha }}_t}{\mathbf{x}}_0,(1-{\bar{\alpha }}_t\right)\mathbf{I})$或${\mathbf{x}}_t=\sqrt{{\bar{\alpha }}_t}{\mathbf{x}}_0+\sqrt{1-{\bar{\alpha }}_t}\mathbf{ϵ}$ （1），
• 根据高斯分布的定义，写出p(xt)的表达式：
  • p ( x t ) ∝ exp ⁡ { − ( x t − α ˉ t x 0 ) ⊤ ( x t − α ˉ t x 0 ) 2 ( 1 − α ˉ t ) } p(\mathbf{x}_{t})\propto\exp\{-\frac{(\mathbf{x}_{t}-\sqrt{\bar{\alpha}_{t}}\mathbf{x}_{0})^{\top}(\mathbf{x}_{t}-\sqrt{\bar{\alpha}_{t}}\mathbf{x}_{0})}{2(1-\bar{\alpha}_{t})}\} p(xt​)∝exp{−2(1−αˉt​)(xt​−αˉt​ ​x0​)⊤(xt​−αˉt​ ​x0​)​}
• 根据这个式子，求出对数梯度：
  • ${\nabla }_{{\mathbf{x}}_t}\log p({\mathbf{x}}_t)=-\frac{{\mathbf{x}}_t-\sqrt{{\bar{\alpha }}_t}{\mathbf{x}}_0}{1-{\bar{\alpha }}_t}$
• 观察式(1), 发现对数梯度的分母就是$\sqrt{1-{\bar{\alpha }}_t}\mathbf{ϵ}$
• 也就是说，加在原图上的噪声，和我们要求的pxt的对数梯度，只相差一个系数。所以估计噪声就可以估计出梯度的方向
• （个人理解）：这里实际上说明，我们DDPM定义的，通过权重来增加的噪声（x0和噪声的加权和），某种程度上相当于在对数空间直接增加噪声？
• 

怎么采样（给原始数据加噪声，早期大后来变小）

• 问题：在数据密度较低的位置，score的估计往往不准，这样很难走进准确的区域
  • 解决方法：给原始数据加噪声，这样原始数据的分布范围就变大了，低密度区域就变小了，能准确估计score的区域就变大了
  • 新的问题：噪声加了，原始数据就破坏了呀；噪声越强，破坏越强；噪声越小，score又无法准确估计
  • 解决方法：在推理的不同阶段加不同强度的噪声，从大到小
  • 这不就是DDPM了吗？噪声按这个权重，早期大，晚期小
• 注意，似乎是在training和inference的时候都加了噪声了
  

加噪声前，计算的score在大片区域不太准：

加噪声后，计算的score更准：

最终的采样算法：

• L是Level，每一个Level i 都有自己的步长αi和和噪声
• 没看懂在那里加的噪声

inpainting （来自补充材料）

• 每次采样得到一个noisy image，
• 下一步之前，我就直接把没mask的部分用gt+噪声代替
• 那感觉和RePaint一模一样啊?

还没有细究的地方：

• training的时候是怎么加的噪声？
• inference那个算法里面具体哪里体现了加噪声的？