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求解平方根，但是返回的是整数，则用二分法，如果是真的求解一个平方根的近似值，可以采用零点定理和牛顿迭代法，那种是可以求出小数值的。

1. 思路

求某数$a(a\ge 0)$的平方根，可以用二分查找的思想来查找，这种二分的思想，时间复杂度是$O(log(n))$，首先在$a\ge 0$时，$0\le \sqrt{a}\le a$，因此，我们确定其解的搜索范围一定是在$[0,a]$中，我们可以让二分查找的left赋值为0，right赋值为a，然后进行二分查找，因为我们取的就是估计值，所以我们没法设定$\text{middle}=\sqrt{a}$（即${\text{middle}}^2=a$）的情况下返回middle，我们只能去二分地逼近它，因此，我们最后的思路是：在区间$[0,a]$使用二分查找，查找满足$\text{middle}=\sqrt{a}$（即${\text{middle}}^2=a$）条件的值，由于最后结果是整数，所以我们求得的结果不一定是满足middle * middle == a这样的情况，所以我们不能像二分查找那样找到满足middle * middle == a条件后return middle，参考之前LeetCode34在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置的想法，是否我们可以让迭代一直进行下去，直到找到左边界（即小于等于这个平方根取整的结果）或者右边界（即大于等于这个平方根取整的结果），但是这个题列举的连续区间都是严格递增的整数，不会出现重复序列，因此让迭代进行下去也不会出现找到重复的整数的情况，下面举个例子，假设我们求的是$\sqrt{a},a=3$，那就相当于在整数序列[0, 1, 2, 3]中找到根号3的整数部分。

1.1 两种基本情况

还是和之前的题目一样，求解的时候分清楚解的情况：
情况1：开平方根结果正好是个整数，如$\sqrt{4}=2$
情况2：开平方根结果是个小数，需要取整，如$\sqrt{3}\approx 1.732050807569$

1.2 按找右边界的思路实现

按照LeetCode34的思路，我们需要魔改一下二分查找的循环条件，以下是魔改后的结果：

class Solution {
public:// 左闭右闭int mySqrt(int a) {int left = 0;int right = a;//当left大于right就跳出循环停止迭代while(left <= right){int middle = left + ((right - left) >> 1);//右移1位相当于除2，节省时间if(a >= (long long)middle * (long long)middle){ left = middle + 1;}else{right = middle - 1;}}return right;//写成left-1也行，下文会解释}
};

1.2.1 开平方根结果是个小数，需要取整

以求解$\sqrt{a},a=3$为例：

第1步：
$\text{ middle }=\lfloor \frac{\text{ right }-\text{ left }}{2}\rfloor +\text{ left }=\lfloor \frac{3-0}{2}\rfloor +0=1$

$\text{a}=3>(\text{nums}[\text{middle}]{)}^2=(\text{nums}[1]{)}^2=1^2=1$，故$\text{left}=\text{middle}+1=1+1=2<\text{right}=3$，满足循环条件，继续循环

第2步：
$\text{ middle }=\lfloor \frac{\text{ right }-\text{ left }}{2}\rfloor +\text{ left }=\lfloor \frac{3-2}{2}\rfloor +2=2$

$\text{a}=3<(\text{nums}[\text{middle}]{)}^2=(\text{nums}[2]{)}^2=2^2=4$，故$\text{right}=\text{middle}-1=2-1=1<\text{left}=2$，不满足循环条件，跳出循环

我们知道，在数学上，$\sqrt{3}\approx 1.732050807569$，而我们要找的是它的整数部分1，righ（或者left-1）恰好符合（middle-1也可以，这种情况下我们需要在循环外设置一个变量来保存middle-1的结果），于是就有了上面的代码，但是我们还要观察一下第二种情况

1.2.2 开平方根结果正好是个整数

以求解$\sqrt{a},a=4$为例：

第1步：
$\text{ middle }=\lfloor \frac{\text{ right }-\text{ left }}{2}\rfloor +\text{ left }=\lfloor \frac{4-0}{2}\rfloor +0=2$

$\text{a}=4=(\text{nums}[\text{middle}]{)}^2=(\text{nums}[2]{)}^2=2^2=4$，故$\text{left}=\text{middle}+1=2+1=3<\text{right}=4$，满足循环条件，继续循环

第2步：
$\text{ middle }=\lfloor \frac{\text{ right }-\text{ left }}{2}\rfloor +\text{ left }=\lfloor \frac{4-3}{2}\rfloor +3=3$

$\text{a}=4<(\text{nums}[\text{middle}]{)}^2=(\text{nums}[3]{)}^2=3^2=9$，故$\text{right}=\text{middle}-1=3-1=2<\text{left}=3$，不满足循环条件，跳出循环

我们可以看到，返回right或者left-1确实是要找的目标值，算法是成立的。

1.2.3 代码实现

代码实现就如我们之前推理的一样，这里再放一遍：

class Solution {
public:// 左闭右闭int mySqrt(int a) {int left = 0;int right = a;//当left大于right就跳出循环停止迭代while(left <= right){int middle = left + ((right - left) >> 1);//右移1位相当于除2，节省时间if(a >= (long long)middle * (long long)middle){ left = middle + 1;}else{right = middle - 1;}}return right;//写成left-1也行，下文会解释}
};

1.3 按找左边界的思路实现

我们试试效仿LeetCode34中找左边界的思路，找左边界的思路就是把循环中的if条件改一下（逻辑上取反一下）：

        while(left <= right){int middle = left + ((right - left) >> 1);//右移1位相当于除2，节省时间if(a <= (long long)middle * (long long)middle){ right = middle - 1;}else{left = middle + 1;}}

1.3.1 开平方根结果是个小数，需要取整

以求解$\sqrt{a},a=3$为例：

第1步：
$\text{ middle }=\lfloor \frac{\text{ right }-\text{ left }}{2}\rfloor +\text{ left }=\lfloor \frac{3-0}{2}\rfloor +0=1$

$\text{a}=3>(\text{nums}[\text{middle}]{)}^2=(\text{nums}[1]{)}^2=1^2=1$，故$\text{left}=\text{middle}+1=1+1=2<\text{right}=3$，满足循环条件，继续循环

第2步：
$\text{ middle }=\lfloor \frac{\text{ right }-\text{ left }}{2}\rfloor +\text{ left }=\lfloor \frac{3-2}{2}\rfloor +2=2$

$\text{a}=3<(\text{nums}[\text{middle}]{)}^2=(\text{nums}[2]{)}^2=2^2=4$，故$\text{right}=\text{middle}-1=2-1=1<\text{left}=2$，不满足循环条件，跳出循环

这个过程和1.2.1的过程是一样的，看似我们的返回结果也应该是right

1.3.2 开平方根结果正好是个整数

以求解$\sqrt{a},a=4$为例：

第1步：
$\text{ middle }=\lfloor \frac{\text{ right }-\text{ left }}{2}\rfloor +\text{ left }=\lfloor \frac{4-0}{2}\rfloor +0=2$

$\text{a}=4=(\text{nums}[\text{middle}]{)}^2=(\text{nums}[2]{)}^2=2^2=4$，故$\text{right}=\text{middle}-1=4-1=3>\text{left}=0$，满足循环条件，继续循环

第2步：
$\text{ middle }=\lfloor \frac{\text{ right }-\text{ left }}{2}\rfloor +\text{ left }=\lfloor \frac{3-0}{2}\rfloor +0=1$

$\text{a}=4>(\text{nums}[\text{middle}]{)}^2=(\text{nums}[1]{)}^2=1^2=1$，故$\text{left}=\text{middle}+1=1+1=2<\text{right}=3$，满足循环条件，继续循环

第3步：
$\text{ middle }=\lfloor \frac{\text{ right }-\text{ left }}{2}\rfloor +\text{ left }=\lfloor \frac{3-2}{2}\rfloor +2=2$

$\text{a}=4=(\text{nums}[\text{middle}]{)}^2=(\text{nums}[2]{)}^2=2^2=4$，故$\text{right}=\text{middle}-1=2-1=1<\text{left}=2$，不满足循环条件，跳出循环

这里就不是返回right或者left-1了，应该返回的是left，和1.3.1的情况冲突了，我们发现，恰好是两种不同的情况导致的。

1.3.3 两种情况整合和代码实现

为了能够兼容两种情况，我们在结尾设置一个循环，如果(right+1)的平方恰好是a（也就是开平方根结果正好是个整数），则返回right+1，否则不变，这样就将两种情况区分开来：

class Solution {
public:// 左闭右闭int mySqrt(int a) {int left = 0;int right = a;//当left大于right就跳出循环停止迭代while(left <= right){int middle = left + ((right - left) >> 1);//右移1位相当于除2，节省时间if(a <= (long long)middle * (long long)middle){ right = middle - 1;}else{left = middle + 1;}}if(long(right+1) * long(right+1) == a){return right + 1;}else{return right;}}
};