K-Means是一个很简单的聚类方法，说它简单，主要原因是使用它时只需设置一个K值（设置需要将数据聚成几类）。但问题是，有时候我们拿到的数据根本不知道要分为几类，对于二维的数据，我们还能通过肉眼观察法进行确定，超过二维的数据怎么办？今天就一起来学习下。

（1）拍脑袋法

一个非常快速的，拍脑袋的方法是将样本量除以2再开方出来的值作为K值，具体公式为：

（2）肘部法则（Elbow Method）

Elbow Method ：Elbow意思是手肘，如下图左所示，此种方法适用于 K 值相对较小的情况，当选择的k值小于真正的时，k每增加1，cost值就会大幅的减小；当选择的k值大于真正的K时， k每增加1，cost值的变化就不会那么明显。这样，正确的k值就会在这个转折点，类似elbow的地方。 如下图：

通过画K与cost function的关系曲线图，如左图所示，肘部的值(cost function开始时下降很快，在肘部开始平缓了)做为K值，K=3。并不是所有的问题都可以通过画肘部图来解决，有的问题如右边的那个图，肘点位置不明显（肘点可以是3，4，5），这时就无法确定K值了。故肘部图是可以尝试的一种方法，但是并不是对所有的问题都能画出如左边那么好的图来确定K值。

Elbow Method公式：

Python实现：

# clustering dataset
# determine k using elbow methodfrom sklearn.cluster import KMeans
from scipy.spatial.distance import cdist
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltx1 = np.array([3, 1, 1, 2, 1, 6, 6, 6, 5, 6, 7, 8, 9, 8, 9, 9, 8])
x2 = np.array([5, 4, 5, 6, 5, 8, 6, 7, 6, 7, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 3])plt.plot()
plt.xlim([0, 10])
plt.ylim([0, 10])
plt.title('Dataset')
plt.scatter(x1, x2)
plt.show()# create new plot and data
plt.plot()
X = np.array(list(zip(x1, x2))).reshape(len(x1), 2)
colors = ['b', 'g', 'r']
markers = ['o', 'v', 's']# k means determine k
distortions = []
K = range(1, 10)
for k in K:kmeanModel = KMeans(n_clusters=k).fit(X)kmeanModel.fit(X)distortions.append(sum(np.min(cdist(X, kmeanModel.cluster_centers_, 'euclidean'), axis=1)) / X.shape[0])# Plot the elbow
plt.plot(K, distortions, 'bx-')
plt.xlabel('k')
plt.ylabel('Distortion')
plt.title('The Elbow Method showing the optimal k')
plt.show()

（3）间隔统计量（Gap Statistic）

根据肘部法则选择最合适的K值有时并不是那么清晰，因此斯坦福大学的Robert等教授提出了Gap Statistic方法。
Gap Statistic的定义为:

这里E(logDk)指的是logDk的期望。这个数值通常通过蒙特卡洛模拟产生，我们在样本里所在的矩形区域中（高维的话就是立方体区域）按照均匀分布随机地产生和原始样本数一样多的随机样本，并对这个随机样本做K-Means，从而得到一个Dk。如此往复多次，通常20次，我们可以得到20个log Dk。对这20个数值求平均值，就得到了E(logDk)的近似值。最终可以计算Gap Statisitc。而Gap statistic取得最大值所对应的K就是最佳的K。

Gap Statistic的基本思路是：引入参考的测值，这个参考值可以有Monte Carlo采样的方法获得。

B是sampling的次数。为了修正MC带来的误差，我们计算sk也即标准差来矫正Gap Statistic。

选择满足

的最小的k作为最优的聚类个数。下图阐释了Gap Statistic的过程。


Python实现：

import scipy
from  scipy.spatial.distance import euclidean
from sklearn.cluster import KMeans as k_meansdst = euclideank_means_args_dict = {'n_clusters': 0,# drastically saves convergence time'init': 'k-means++','max_iter': 100,'n_init': 1,'verbose': False,# 'n_jobs':8
}def gap(data, refs=None, nrefs=20, ks=range(1, 11)):"""I: NumPy array, reference matrix, number of reference boxes, number of clusters to testO: Gaps NumPy array, Ks input listGive the list of k-values for which you want to compute the statistic in ks. By Gap Statisticfrom Tibshirani, Walther."""shape = data.shapeif not refs:tops = data.max(axis=0)bottoms = data.min(axis=0)dists = scipy.matrix(scipy.diag(tops - bottoms))rands = scipy.random.random_sample(size=(shape[0], shape[1], nrefs))for i in range(nrefs):rands[:, :, i] = rands[:, :, i] * dists + bottomselse:rands = refsgaps = scipy.zeros((len(ks),))for (i, k) in enumerate(ks):k_means_args_dict['n_clusters'] = kkmeans = k_means(**k_means_args_dict)kmeans.fit(data)(cluster_centers, point_labels) = kmeans.cluster_centers_, kmeans.labels_disp = sum([dst(data[current_row_index, :], cluster_centers[point_labels[current_row_index], :]) for current_row_indexin range(shape[0])])refdisps = scipy.zeros((rands.shape[2],))for j in range(rands.shape[2]):kmeans = k_means(**k_means_args_dict)kmeans.fit(rands[:, :, j])(cluster_centers, point_labels) = kmeans.cluster_centers_, kmeans.labels_refdisps[j] = sum([dst(rands[current_row_index, :, j], cluster_centers[point_labels[current_row_index], :]) forcurrent_row_index in range(shape[0])])# let k be the index of the array 'gaps'gaps[i] = scipy.mean(scipy.log(refdisps)) - scipy.log(disp)return ks, gaps

（4）轮廓系数（Silhouette Coefficient）

Silhouette method 会衡量对象和所属簇之间的相似度——即内聚性（cohesion）。当把它与其他簇做比较，就称为分离性（separation）。该对比通过 silhouette 值来实现，后者在 [-1, 1] 范围内。Silhouette 值接近 1，说明对象与所属簇之间有密切联系；反之则接近 -1。若某模型中的一个数据簇，生成的基本是比较高的 silhouette 值，说明该模型是合适、可接受的。

方法：

1）计算样本i到同簇其他样本的平均距离a(i)。a(i)越小，说明样本i越应该被聚类到该簇。将a(i)称为样本i的簇内不相似度。簇C中所有样本的a(i)均值称为簇C的簇不相似度。

2）计算样本i到其他某簇C(j)的所有样本的平均距离b(ij)，称为样本i与簇C(j)的不相似度。定义为样本i的簇间不相似度：b(i) =min{bi1, bi2, …, bik}，b(i)越大，说明样本i越不属于其他簇。

3）根据样本i的簇内不相似度a i 和簇间不相似度b i ，定义样本i的轮廓系数：

4）判断：

• s(i)接近1，则说明样本i聚类合理
• s(i)接近-1，则说明样本i更应该分类到另外的簇
• 若s(i) 近似为0，则说明样本i在两个簇的边界上

所有样本的s(i )的均值称为聚类结果的轮廓系数，是该聚类是否合理、有效的度量。但是，其缺陷是计算复杂度为O(n^2)，需要计算距离矩阵，那么当数据量上到百万，甚至千万级别时，计算开销会非常巨大。

Python实现：

import numpy as np
from sklearn.cluster import KMeans
from sklearn import metrics
import matplotlib.pyplot as pltplt.figure(figsize=(8, 10))
plt.subplot(3, 2, 1)
x1 = np.array([1, 2, 3, 1, 5, 6, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 7, 9])
x2 = np.array([1, 3, 2, 2, 8, 6, 7, 6, 7, 1, 2, 1, 1, 3])
X = np.array(list(zip(x1, x2))).reshape(len(x1), 2)
plt.xlim([0, 10])
plt.ylim([0, 10])
plt.title('Sample')
plt.scatter(x1, x2)
colors = ['b', 'g', 'r', 'c', 'm', 'y', 'k', 'b']
markers = ['o', 's', 'D', 'v', '^', 'p', '*', '+']
tests = [2, 3, 4, 5, 8]
subplot_counter = 1
for t in tests:subplot_counter += 1plt.subplot(3, 2, subplot_counter)kmeans_model = KMeans(n_clusters=t).fit(X)for i, l in enumerate(kmeans_model.labels_):plt.plot(x1[i], x2[i], color=colors[l], marker=markers[l],ls='None')plt.xlim([0, 10])plt.ylim([0, 10])plt.title('K = %s, Silhouette method = %.03f' % (t, metrics.silhouette_score(X, kmeans_model.labels_,metric='euclidean')))
plt.show()

（5）Canopy算法

肘部法则（Elbow Method）和轮廓系数（Silhouette Coefficient）来对k值进行最终的确定，但是这些方法都是属于“事后”判断的，而Canopy算法的作用就在于它是通过事先粗聚类的方式，为k-means算法确定初始聚类中心个数和聚类中心点。

与传统的聚类算法(比如K-Means)不同，Canopy聚类最大的特点是不需要事先指定k值(即clustering的个数)，因此具有很大的实际应用价值。与其他聚类算法相比，Canopy聚类虽然精度较低，但其在速度上有很大优势，因此可以使用Canopy聚类先对数据进行“粗”聚类，得到k值，以及大致的k个中心点，再使用K-Means进行进一步“细”聚类。所以Canopy+K-Means这种形式聚类算法聚类效果良好。

Canopy算法解析：

1）原始数据集合List按照一定的规则进行排序（这个规则是任意的，但是一旦确定就不再更改），初始距离阈值为T1、T2，且T1>T2（T1、T2的设定可以根据用户的需要，或者使用交叉验证获得）。
2）在List中随机挑选一个数据向量A，使用一个粗糙距离计算方式计算A与List中其他样本数据向量之间的距离d。
3）根据第2步中的距离d，把d小于T1的样本数据向量划到一个canopy中，同时把d小于T2的样本数据向量从候选中心向量名单（这里可以理解为就是List）中移除。
4）重复第2、3步，直到候选中心向量名单为空，即List为空，算法结束。

算法原理比较简单，就是对数据进行不断遍历，T2<dis<T1的可以作为中心名单，dis<T2的认为与canopy太近了，以后不会作为中心点，从list中删除，这样的话一个点可能属于多个canopy。

canopy效果图如下：

Canopy算法优势：

• Kmeans对噪声抗干扰较弱，通过Canopy对比较小的NumPoint的Cluster直接去掉 有利于抗干扰。
• Canopy选择出来的每个Canopy的centerPoint作为Kmeans比较科学。
• 只是针对每个Canopy的内容做Kmeans聚类，减少相似计算的数量。

Canopy算法缺点：

• 算法中 T1、T2（T2 < T1） 的确定问题

Python实现：

# -*- coding: utf-8 -*-
import math
import random
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltclass Canopy:def __init__(self, dataset):self.dataset = datasetself.t1 = 0self.t2 = 0# 设置初始阈值def setThreshold(self, t1, t2):if t1 > t2:self.t1 = t1self.t2 = t2else:print('t1 needs to be larger than t2!')# 使用欧式距离进行距离的计算def euclideanDistance(self, vec1, vec2):return math.sqrt(((vec1 - vec2)**2).sum())# 根据当前dataset的长度随机选择一个下标def getRandIndex(self):return random.randint(0, len(self.dataset) - 1)def clustering(self):if self.t1 == 0:print('Please set the threshold.')else:canopies = []  # 用于存放最终归类结果while len(self.dataset) != 0:rand_index = self.getRandIndex()current_center = self.dataset[rand_index]  # 随机获取一个中心点，定为P点current_center_list = []  # 初始化P点的canopy类容器delete_list = []  # 初始化P点的删除容器self.dataset = np.delete(self.dataset, rand_index, 0)  # 删除随机选择的中心点Pfor datum_j in range(len(self.dataset)):datum = self.dataset[datum_j]distance = self.euclideanDistance(current_center, datum)  # 计算选取的中心点P到每个点之间的距离if distance < self.t1:# 若距离小于t1，则将点归入P点的canopy类current_center_list.append(datum)if distance < self.t2:delete_list.append(datum_j)  # 若小于t2则归入删除容器# 根据删除容器的下标，将元素从数据集中删除self.dataset = np.delete(self.dataset, delete_list, 0)canopies.append((current_center, current_center_list))return canopiesdef showCanopy(canopies, dataset, t1, t2):fig = plt.figure()sc = fig.add_subplot(111)colors = ['brown', 'green', 'blue', 'y', 'r', 'tan', 'dodgerblue', 'deeppink', 'orangered', 'peru', 'blue', 'y', 'r','gold', 'dimgray', 'darkorange', 'peru', 'blue', 'y', 'r', 'cyan', 'tan', 'orchid', 'peru', 'blue', 'y', 'r', 'sienna']markers = ['*', 'h', 'H', '+', 'o', '1', '2', '3', ',', 'v', 'H', '+', '1', '2', '^','<', '>', '.', '4', 'H', '+', '1', '2', 's', 'p', 'x', 'D', 'd', '|', '_']for i in range(len(canopies)):canopy = canopies[i]center = canopy[0]components = canopy[1]sc.plot(center[0], center[1], marker=markers[i],color=colors[i], markersize=10)t1_circle = plt.Circle(xy=(center[0], center[1]), radius=t1, color='dodgerblue', fill=False)t2_circle = plt.Circle(xy=(center[0], center[1]), radius=t2, color='skyblue', alpha=0.2)sc.add_artist(t1_circle)sc.add_artist(t2_circle)for component in components:sc.plot(component[0], component[1],marker=markers[i], color=colors[i], markersize=1.5)maxvalue = np.amax(dataset)minvalue = np.amin(dataset)plt.xlim(minvalue - t1, maxvalue + t1)plt.ylim(minvalue - t1, maxvalue + t1)plt.show()if __name__ == "__main__":dataset = np.random.rand(500, 2)  # 随机生成500个二维[0,1)平面点t1 = 0.6t2 = 0.4gc = Canopy(dataset)gc.setThreshold(t1, t2)canopies = gc.clustering()print('Get %s initial centers.' % len(canopies))
showCanopy(canopies, dataset, t1, t2)

参考资料：

• https://en.wikipedia.org/wiki/Determining_the_number_of_clusters_in_a_data_set
• https://www.quora.com/How-can-we-choose-a-good-K-for-K-means-clustering
• https://stackoverflow.com/questions/1793532/how-do-i-determine-k-when-using-k-means-clustering