作者：一个喜欢猫咪的的程序员

专栏：《数据结构》

喜欢的话：世间因为少年的挺身而出，而更加瑰丽。 ——《人民日报》

目录

1.排序的概念：

2.八大排序的思路及其细节

2.1直接插入排序

2.2希尔排序

2.3选择排序：

2.4堆排序

2.5冒泡排序

2.6快速排序：

2.6.1hoare版本（递归版本）

2.6.2三数取中

2.6.3挖坑法

2.6.4前后指针法：

2.6.5非递归写法：

2.7归并排序

2.7.1递归写法：

2.7.2非递归写法：

2.8计数排序

1.排序的概念：

排序就是把集合中的元素按照一定的次序排序在一起。一般来说有升序排列和降序排列2种排序，在算法中有八大基本排序：

算法的优良主要从4个方面进行评测：

1.时间复杂度
2.空间复杂度
3.适用场景
4.稳定性

2.八大排序的思路及其细节

2.1直接插入排序

动图演示：

当前n-1个已是有序的情况下，将第n个元素插入进去排序，插入到顺序正确的位置。

将此过程一直重复的话可以可以完成上图的情况。（以数组a为例，来观察一下各个过程）

int a[] = {9,1,2,5,7,4,8,6,3,5};

思路：

用一个变量end=i，利用tmp记录下end位置的下一个位置a[end+1]的值，如果a[end]>tmp,a[end]=tmp然后end--。最后将tmp的值赋给end+1的位置。

考虑极端情况：

当数组有n个数时，下标最大值为n-1

当end=n-1时，end+1=n（此时造成了越界）

void InsertSort(int* a, int n)
{//插入排序for (int i = 0; i < n - 1; i++){int end = i;int tmp = a[end + 1];while (end >= 0){if (a[end] > tmp){a[end + 1] = a[end];end--;}else{break;}}a[end+1] = tmp;//防止end=-1}
}

时间复杂度： O(N^2) 空间复杂度：O ( 1 )

2.2希尔排序

对插入排序的时间复杂度进行分析，得出了以下结论：

普通插入排序的时间复杂度最坏情况下为O(N2)，此时待排序列为逆序，或者说接近逆序。
普通插入排序的时间复杂度最好情况下为O(N)，此时待排序列为升序，或者说接近升序。

动图演示：

待排序列先进行一次预排序，让待排序列变为接近有序的（接近需要的顺序）,然后再进行一次直接插入排序。

因为直接插入排序前的待排序列已是接近有序的情况了，因此时间复杂度为O（N），只要控制预排序阶段的时间复杂度不超过O(N^2)，那么整体的时间复杂度就比直接插入排序的时间复杂度低了。

希尔排序法又称缩小增量法。希尔排序法的基本思想是：

设定一个gap=n/2，将相距gap位置的两个数作比较，如果前面的小于后面交换以此循环

问题：为什么gap=n/2？
answer：gap越大，数据挪动得越快；gap越小，数据挪动得越慢。前期让gap较大，可以让数据更快得移动到自己对应的位置附近，减少挪动次数。

注：一般情况下，取序列的一半作为增量，然后依次减半，直到增量为1（也可自己设置）。

思路：

单趟排序：当a[end]>a[end+gap]时，将end的值赋给end+gap后end-=gap，在end<0时退出循环

当有n个数时，因为比较是相距gap距离的两个数比较，因此循环次数要小于n-gap次

gap=n每次取半直到最终取到gap=1时，每次取半都是一次一次单趟排序

void ShellSort(int* a, int n)
{int gap = n;while (gap > 1){gap = gap/ 2;for (int i = 0; i < n - gap; i++)//i++并排运算{int end = i;int tmp = a[end + gap];while (end >= 0){if (a[end] > tmp){//Swap(&a[end], &a[end + gap]);a[end + gap] = a[end];end -= gap;}elsebreak;}a[end + gap] = tmp;//防止end<0}}
}

希尔排序详细的时间复杂度和空间复杂度：

《数据结构(C语言版)》--- 严蔚敏

《数据结构-用面相对象方法与C++描述》--- 殷人昆

时间复杂度：O ( NlogN ) 空间复杂度：O ( 1 )

平均时间复杂度：O ( N^ 1.3 )

2.3选择排序：

动图演示：

思路：

设两个下标begin和end，begin初始化为0，end初始化为n-1

设置最大值和最小值的下标让他们指向begin和end

当a[i]的值比a[begin]小，更新min的值，当a[i]的值比a[begin]大，更新max的值

循环走完后确认了最小值的下标，将a[begin]和a[min]进行交换，以及a[end]和a[max交换]

极端情况：

当最大值为数组的第一个时，max=min

时间复杂度：O(N^2) 空间复杂度：O(1)

void SelectSort(int* a, int n)
{int begin = 0;int end = n - 1;while (begin < end){int mini = begin;int maxi = end;for (int i = begin+1; i <=end; i++){if (a[i] < a[mini]){mini = i;}if (a[i] > a[maxi]){maxi = i;}}Swap(&a[mini], &a[begin]);if (maxi == begin){maxi = mini;}Swap(&a[maxi], &a[end]);begin++;end--;}
}

2.4堆排序

堆排序：（以小堆为例）
堆的分类：

1.升序or降序
2.大堆or小堆

void test2()
{//堆排序int array[] = { 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 };Heapsort(array, sizeof(array) / sizeof(array[0]));for (int i = 0; i < sizeof(array) / sizeof(array[0]); i++){printf("%d ", array[i]);}printf("\n");}

Heapsort函数（堆排序）：
int array[] = { 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 };

需将这个数组进行大堆排列，分为两种调整形式：向上调整和向下调整。

向上调整和向下调整的思想可以参考我的例外一篇博客：http://t.csdn.cn/UD52X

void Ajustup(HPDataType*a, int child)
{//N*logNassert(a);//int child = n - 1;while (child > 0){int parent = (child - 1) / 2;if (a[child] > a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;}else{break;}}
}
void Ajustdown(HPDataType* a, int n,int parent)
{//O(N)assert(a);int child = 2 * parent+1;while (child<n){if (child + 1 < n && a[child] < a[child + 1])//  <假设左子树大{child++;}if (a[child] > a[parent])//>大堆，<为小堆{Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = child * 2 + 1;}else{break;}}
}

向上调整和向下调整具体的时间复杂度是多少呢？

向下调整具体的时间复杂度：

假设树高为h

第h层，有2^(h-1）个节点，需要向下调整0次（直接不算，从第h-1层开始算）。

第h-1层，有2^（h-2）个节点，需要向下调整1层。

第h-2层，有2^（h-3）个节点，需要向下调整2层。

......

第4层，有2^3个节点，需要向下调整h-4层。

第3层，有2^2个节点，需要向下调整h-3层。

第2层，有2^1个节点，需要向下调整h-2层。

第1层，有2^0个节点，需要向下调整h-1层。

当h高的次数，最多调整层数为：

F（h）=2^0*（h-1）+2^1*(h-2)+2^2*(h-3)+...+2^(h-3)*2+2^(h-2)*1+2^(h-1)*0 ——①

2*F（h）=2^1*（h-1）+2^2*(h-2)+2^3*(h-3)+...+2^(h-2)*2+2^(h-1)*1+2^(h)*0 ——②

有错位相减②-①可得：

F（h）=-2^0*（h-1）+2^1+2^2+....+2^(h-2)+2^(h-1)

F（h）=2^h-1-h ——③

当树高为h时，节点总个数N为：

N=2^0+2^1+...+2^（h-2）+2^（h-1）

N=2^h-1 ——④

有④可得：h=log（N+1） ——⑤

综合③④⑤可得：

F（N）=N-log（N+1）

因此时间复杂度为O（N）

向上调整具体的时间复杂度：
在一层，需要向上调整0次

第二层，向上调整1次

第三层，向上调整2次

...

第h-1层，向上调整h-2次

第h层，向上调整h-1次

F（h）=2^1*1+2^2*2+....+2^(h-1)*(h-1)。

由错位相减可得：

F(N)=2N(1-log(N+1))。

时间复杂度为O（N*logN）
如何实现堆排序
显然向下调整优于向上调整。

先利用Ajustdown排序好数组，然后再用交换Ajustdown实现小堆。

void Heapsort(int*a,int n)//堆排序
{//向上调整for (int i = 1; i <n; i++){Ajustup(a, i);}//向下调整for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--){Ajustdown(a, n, i);}int end = n - 1;while (end>0){Swap(&a[0], &a[end]);Ajustdown(a, end, 0);end--;}//N*logN
}
void test2()
{//堆排序int array[] = { 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 };Heapsort(array, sizeof(array) / sizeof(array[0]));for (int i = 0; i < sizeof(array) / sizeof(array[0]); i++){printf("%d ", array[i]);}printf("\n");}

2.5冒泡排序

动图演示：

代码：

void BubbleSort(int* a, int n)
{for (int j = 0; j < n; j++){for (int i = 1; i < n - j; i++){if (a[i] < a[i - 1]){Swap(&a[i],& a[i - 1]);}}}
}

时间复杂度：O(N^2) 空间复杂度：O(1)

2.6快速排序：

快速排序是Hoare于1962年提出的一种二叉树结构的交换排序方法，其基本思想为：任取待排序元素序列中的某元素作为基准值，按照该排序码将待排序集合分割成两子序列，左子序列中所有元素均小于基准值，右子序列中所有元素均大于基准值，然后最左右子序列重复该过程，直到所有元素都排列在相应位置上为止。

快速排序有三种写法：

1.hoare版本

2.挖坑法

3.前后指针法

以及优化：

1.三数取中

2.6.1hoare版本（递归版本）

动图演示：

hoare版本思路：

单趟排序，key一般选最左边或者最右边

当key为最左边，右边找小，左边找大，然后交换继续，相遇停止，相遇的值跟key交换

当key为最右边相反

当左区间有序，右区间有序那整体就ok了，如果左右区间不有序，左右区间就是单趟的子问题

当区间只有一个值，就不排了，返回

问题：为什么是key为最左边时，右边先走，最右边做key时，左边先走

answer：左边做key，右边先走，可以保证相遇位置比key要小

此时有两种情况：

1.相遇，left是停着(一定>=key)，right向后走，相遇的位置是left的位置

2.相遇，right是停着（一定<=key），left向前走，相遇的位置是right的位置

单趟有两个意义

1.分割出左右区间，左比key小，右比key大

2.key到了正确位置（排序后的最终位置）

key以后不用变了，到了正确位置

代码：

int Partsort1(int* a, int begin, int end)
{//hoare版本int mid = GetMidIndex(a, begin, end);Swap(&a[mid], &a[begin]);int left = begin;int right = end;int keyi = begin;while (left < right){while (left < right && a[right] >= a[keyi]){right--;}while (left < right && a[left] <= a[keyi]){left++;}Swap(&a[left], &a[right]);}Swap(&a[left], &a[keyi]);keyi = left;return keyi;
}
void QuickSort(int* a, int begin, int end)
{if (begin >= end){return;}if (end-begin+1 < 10){InsertSort(a + begin, end - begin + 1);}else{int keyi=Partsort1(a, begin, end);//int keyi=Partsort2(a, begin, end);//int keyi = Partsort3(a, begin, end);QuickSort(a, begin, keyi - 1);QuickSort(a, keyi + 1, end);}
}

时间复杂度:O(NlogN)

2.6.2三数取中

每次排序都会将数组分为三个部分：

【left-key-1】【key】【keyi+1-right】

在理想情况下，我们每次进行完单趟排序后，key的左序列与右序列的长度都相同：

若每趟排序所选的key都正好是该序列的中间值，即单趟排序结束后key位于序列正中间，那么快速排序的时间复杂度就是O(NlogN)。

但事实上可能会遇到极端情况：就是我们每次取到的都是最大值或者最小值，那么快排的时间复杂度达到最低O（N^2）

可以看到，这种情况下，快速排序的时间复杂度退化为O(N^2)。其实，对快速排序效率影响最大的就是选取的key，若选取的key越接近中间位置，则则效率越高。

为了避免这种极端情况的发生，于是出现了三数取中：
三数取中，当中的三数指的是：最左边的数、最右边的数以及中间位置的数。三数取中就是取这三个数当中，值的大小居中的那个数作为该趟排序的key。这就确保了我们所选取的数不会是序列中的最大或是最小值了。

代码：

int GetMidIndex(int* a, int begin, int end)
{int mid = (begin + end) / 2;if (a[begin] < a[mid]){if (a[mid] < a[end]){return mid;}else if (a[begin] > a[end])//a[mid]>a[end]的前提下{return begin;}else//a[mid]>a[end]&&a[begin] < a[end]的前提下{return end;}}else//a[begin] > a[mid]{if (a[end] < a[mid]){return mid;}else if (a[begin] > a[end])//a[end] > a[mid]{return end;}else//a[end] > a[mid]&&a[begin] < a[end]{return begin;}}
}

2.6.3挖坑法

动图演示：

思路：

将一开始的left保存起来，然后左边空出来一个坑，右边先走，右找大，然后将右边的值的数据填进去，找到的位为坑，左边找小将右边的坑填进去，最后一定会在坑的位置相遇

代码：

int Partsort2(int* a, int begin, int end)
{//挖坑法int mid = GetMidIndex(a, begin, end);Swap(&a[mid], &a[begin]);int left = begin;int right = end;int keyi = a[left];int hole = left;while (left < right){while (left < right && a[right] >= keyi){right--;}a[hole] = a[right];hole = right;while (left < right && a[left] <= keyi){left++;}a[hole]=a[left];hole = left;}a[hole] = keyi;keyi = left;return hole;
}
void QuickSort(int* a, int begin, int end)
{if (begin >= end){return;}if (end-begin+1 < 10){InsertSort(a + begin, end - begin + 1);}else{//int keyi=Partsort1(a, begin, end);int keyi=Partsort2(a, begin, end);//int keyi = Partsort3(a, begin, end);QuickSort(a, begin, keyi - 1);QuickSort(a, keyi + 1, end);}
}

时间复杂度:O(NlogN)

2.6.4前后指针法：

动图演示：

思路：

1、cur找比key小，找到后停下来
2、++prev, 交换prev位置和cur位置的值
代码：

int Partsort3(int* a, int begin, int end)
{int  prev = begin;int cur = begin + 1;int keyi = begin;while (cur<=end){/*if (a[cur] < a[keyi]){Swap(&a[++prev], &a[cur]);}*/if (a[cur] < a[keyi]&&++prev!=cur){Swap(&a[prev], &a[cur]);}cur++;}Swap(&a[prev], &a[keyi]);keyi = prev;return keyi;
}
void QuickSort(int* a, int begin, int end)
{if (begin >= end){return;}if (end-begin+1 < 10){InsertSort(a + begin, end - begin + 1);}else{/*int keyi=Partsort1(a, begin, end);int keyi=Partsort2(a, begin, end);*/int keyi = Partsort3(a, begin, end);QuickSort(a, begin, keyi - 1);QuickSort(a, keyi + 1, end);}
}

时间复杂度:O(NlogN)

2.6.5非递归写法：

思路：

通过非递归的方式实现递归的情况的话，递归从底层是先排左边再排右边因此类推，因此写非递归我们从顶层到底层就需要反过来。

借助栈的内存结构让先入的后出，所以要先压begin再压end，取出来的话就是先出右再出左

再先排右边再排左边。

代码：

void QuickSortNonR(int* a, int begin, int end)
{//非递归ST st;StackInit(&st);StackPush(&st, begin);StackPush(&st, end);while (!StackEmpty(&st)){int right = StackTop(&st);StackPop(&st);int left = StackTop(&st);StackPop(&st);int keyi = Partsort3(a, left, right);//单趟排序if (keyi + 1 < right){StackPush(&st, keyi+1);StackPush(&st, right);}if (left < keyi-1){StackPush(&st, left);StackPush(&st, keyi - 1);}}StackDestory(&st);
}

2.7归并排序

2.7.1递归写法：

动图讲解：

思路：

将两端有序序列取各种较小的值比较排序成一个有序序列。

代码：

void _MergeSort(int* a, int begin, int end, int* tmp)
{if (begin >= end){return;}int mid = (begin + end) / 2;_MergeSort(a, mid+1, end, tmp);_MergeSort(a, begin, mid, tmp);int begin1 = begin;int end1 = mid;int begin2 = mid+1;int end2 = end;int i = begin;while (begin1<=end1&&begin2<=end2){if (a[begin1] < a[begin2]){tmp[i++] = a[begin1++];}else{tmp[i++] = a[begin2++];}}while (begin1 <= end1){tmp[i++] = a[begin1++];}while (begin2 <= end2){tmp[i++] = a[begin2++];}memcpy(a + begin, tmp + begin, sizeof(int) * (end - begin + 1));
}
void MergeSort(int* a, int n)
{int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);if (tmp == NULL){perror("malloc fail");exit(-1);}_MergeSort(a, 0, n-1, tmp);free(tmp);tmp = NULL;
}

2.7.2非递归写法：

极端情况：

越界有三种情况

1.end1越界 begin2越界end2越界

2.begin2越界end2越界

3.end2越界

整体拷贝的话会有覆盖丢失

代码：

void MergeSortNonrR(int* a, int n)
{int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);if (tmp == NULL){perror("malloc fail");exit(-1);}int RangN = 1;while (RangN < n){for (int i = 0; i < n; i += 2 * RangN){int begin1 = i;int end1 = i + RangN - 1;int begin2 = i + RangN;int end2 = i + 2 * RangN - 1;int j = i;if (end1>=n)// 修正区间  ->拷贝数据 归并完了整体拷贝 or 归并每组拷贝{end1 = n - 1;begin2 = n;// 不存在区间end2 = n - 1;}else if (begin2 >= n){begin2 = n;end2 = n - 1;}else if(end2>=n){end2 = n - 1;}while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2){if (a[begin1] < a[begin2]){tmp[j++] = a[begin1++];}else{tmp[j++] = a[begin2++];}}while (begin1 <= end1){tmp[j++] = a[begin1++];}while (begin2 <= end2){tmp[j++] = a[begin2++];}memcpy(a + i, tmp + i, sizeof(int) * (end2 - i + 1));}RangN *= 2;}free(tmp);tmp = NULL;
}

时间复杂度：O（NlogN）空间复杂度：O（N）

2.8计数排序

思路：

绝对映射：count数组中下标为i的位置记录的是arr数组中数字i出现的次数。
相对映射：count数组中下标为i的位置记录的是arr数组中数字min+i出现的次数。

代码：

void CountSort(int* a, int n)
{int min = a[0];int max = a[0];for (int i = 1; i < n; i++){if (a[i] > max){max = a[i];}if (a[i] < min){min = a[i];}}int range = max - min + 1;int* CoutA = (int*)calloc(range, sizeof(int));if (CoutA == NULL){perror("calloc fail");exit(-1);}for (int i = 0; i < n; i++){CoutA[a[i] - min]++;}int k = 0;for (int i = 0; i < range; i++){while (CoutA[i]--){a[k++] = i + min;}}free(CoutA);
}

时间复杂度：O(N+range) 空间复杂度：O(range)